O objetivo desse problema é introduzir e exemplificar algumas noções básicas de geometria diferencial de curvas.
(a) Dizemos que uma curva \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} está parametrizada pelo comprimento de arco se \left|\gamma^{\prime}(t)\right|=1. Mostre que se for esse o caso, então comprimento da curva é b-a.
(b) Mostre que a curva \gamma(t)=(R \cos (t / R), R \operatorname{sen}(t / R)) está parametrizada pelo comprimento de arco.
(c) Se \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, definimos sua curvatura como: k(s):=\left|\gamma^{\prime \prime}(s)\right|. Determine a curvatura da curva do item anterior.
(d) Mostre que a curvatura de uma reta é zero.
(e) Mostre a recíproca: se \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e k(s)=0, então \gamma é a parametrização de uma reta.

Passo 1

O enunciado dá uma curva diferenciável \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n e faz cinco perguntas. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos, para ficar tudo organizado:
  • Dados/definições fornecidas:
    • Dizemos que uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco quando \left|\gamma'(t)\right|=1 para todo t no intervalo de definição.
    • Comprimento de uma curva diferenciável é calculado pela integral apropriada (veremos a fórmula no passo seguinte).
    • A curva explícita do item (b) é \gamma(t)=\bigl(R\cos(t/R),\,R\sin(t/R)\bigr) (com R>0).
    • Para curvas em \mathbb{R}^2 parametrizadas pelo comprimento de arco, a curvatura é definida por k(s):=\left|\gamma''(s)\right|, onde s é o parâmetro-arcoc (portanto \left|\gamma'(s)\right|=1).
  • Perguntas a responder:
    (a) Mostrar que se \left|\gamma'(t)\right|=1 então o comprimento da curva é b-a.
    (b) Mostrar que \gamma(t)=\bigl(R\cos(t/R),\,R\sin(t/R)\bigr) está parametrizada pelo comprimento de arco.
    (c) Determinar a curvatura k(s) da curva do item (b).
    (d) Mostrar que a curvatura de uma reta é zero.
    (e) Mostrar a recíproca: se \gamma está parametrizada pelo comprimento de arco e k(s)=0 para todo s, então \gamma é uma parametrização de uma reta.
A partir do próximo passo eu vou provar cada item, explicando bem as ideias e as contas.

Passo 2

(a) Fórmula do comprimento e conclusão quando \left|\gamma'\right|=1.
Explicação da ideia: o comprimento de uma curva diferenciável \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n é dado pela integral da norma da velocidade. Mais precisamente, se \gamma é diferenciável e \gamma' é contínua, então o comprimento L da curva é
L=\int_a^b \left|\gamma'(t)\right|\,dt.
Intuição rápida: dividir o intervalo em subintervalos [t_{i-1},t_i], aproximar cada pedaço por um segmento com comprimento aproximado \left|\gamma'(t_i^*)\right|(t_i-t_{i-1}) e passar ao limite.
Agora aplicamos isso ao caso em que a curva é parametrizada pelo comprimento de arco, ou seja \left|\gamma'(t)\right|=1 para todo t\in[a,b]. Substituindo na integral:
L=\int_a^b 1\,dt = b-a.
Portanto, quando \left|\gamma'(t)\right|=1 o comprimento da curva entre t=a e t=b é exatamente b-a. Comentário prático: isso significa que o parâmetro t mede comprimento ao longo da curva (unidade por unidade).

Passo 3

(b) Mostrar que \gamma(t)=\bigl(R\cos(t/R),\,R\sin(t/R)\bigr) é unit-speed.
Primeiro, calculamos a derivada componente a componente usando a regra da cadeia. Para a primeira componente:
\frac{d}{dt}\bigl(R\cos(t/R)\bigr) = R\cdot\bigl(-\sin(t/R)\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t/R\bigr) = R\cdot\bigl(-\sin(t/R)\bigr)\cdot\frac{1}{R} = -\sin\bigl(t/R\bigr).
Para a segunda componente:
\frac{d}{dt}\bigl(R\sin(t/R)\bigr) = R\cdot\cos(t/R)\cdot\frac{1}{R} = \cos\bigl(t/R\bigr).
Portanto
\gamma'(t)=\bigl(-\sin(t/R),\;\cos(t/R)\bigr).
Agora calculamos a norma da velocidade:
\left|\gamma'(t)\right| = \sqrt{\bigl(-\sin(t/R)\bigr)^2 + \bigl(\cos(t/R)\bigr)^2} = \sqrt{\sin^2(t/R)+\cos^2(t/R)} =1.
Como \left|\gamma'(t)\right|=1 para todo t, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Observação geométrica rápida: esta curva é justamente a parametrização de uma circunferência de raio R com velocidade unitária; o fator R cancela ao derivar, por isso o parâmetro t coincide com o comprimento de arco ao longo da circunferência.

Passo 4

(c) Determinar a curvatura k(s)=\bigl|\gamma''(s)\bigr| da curva do item (b).
Como vimos no passo anterior, a curva do item (b) já é unit-speed, então podemos tomar s=t (o parâmetro t é o arc-length). Calculamos a segunda derivada \gamma''(t) derivando \gamma'(t)=\bigl(-\sin(t/R),\cos(t/R)\bigr):
\gamma''(t)=\bigl(-\cos(t/R)\cdot\frac{1}{R},\; -\sin(t/R)\cdot\frac{1}{R}\bigr) = -\frac{1}{R}\bigl(\cos(t/R),\;\sin(t/R)\bigr).
Agora a norma:
k(t)=\left|\gamma''(t)\right| = \frac{1}{R}\sqrt{\cos^2(t/R)+\sin^2(t/R)} = \frac{1}{R}.
Conclusão: a curvatura é constante e igual a \dfrac{1}{R}. Intuição geométrica: para uma circunferência de raio R a curvatura é 1/R — quanto maior o raio, mais “reta” é a curva localmente, logo menor curvatura.

Passo 5

(d) Mostrar que a curvatura de uma reta é zero.
Considere uma reta parametrizada de forma unit-speed (parametrização por comprimento de arco). Uma parametrização unit-speed de uma reta pode ser escrita como
\gamma(s)=p_0 + s\,v,
onde p_0\in\mathbb{R}^2 é um ponto da reta e v\in\mathbb{R}^2 é um vetor constante de norma \left|v\right|=1. Então
\gamma'(s)=v \quad\text{(constante)}, \qquad \gamma''(s)=0.
Pelo definição de curvatura k(s)=\left|\gamma''(s)\right|, segue que k(s)=0 para todo s. Portanto a curvatura de uma reta é zero. Intuitivamente: reta não tem “curvar”, então curvatura nula.

Passo 6

(e) Recíproca: se \gamma é unit-speed e k(s)=0 para todo s, então \gamma é uma reta.
Por hipótese, \gamma está parametrizada pelo comprimento de arco, então \left|\gamma'(s)\right|=1 para todo s. A hipótese k(s)=0 significa que
\left|\gamma''(s)\right|=0 \quad\text{para todo } s,
o que implica vetor nulo:
\gamma''(s)=0\quad\text{para todo } s.
Isto é uma equação diferencial simples: a derivada de \gamma'(s) é zero, então \gamma'(s) é constante. Logo existe um vetor constante v tal que
\gamma'(s)=v\quad\text{para todo } s.
Integrando em s obtemos
\gamma(s)=v\,s + p_0
para alguma constante p_0\in\mathbb{R}^2. Assim \gamma é exatamente uma parametrização afim (linear) de uma reta. Além disso, como \left|\gamma'(s)\right|=1, segue \left|v\right|=1, ou seja, é a parametrização unit-speed dessa reta. Portanto a recíproca está provada.

Resposta

(a) b-a
(b) Sim: \left|\gamma'(t)\right|=1 para todo t, logo está parametrizada pelo comprimento de arco.
(c) k(s)=\dfrac{1}{R} (constante).
(d) k(s)=0.
(e) \gamma(s)=v\,s+p_0 com v constante e \left|v\right|=1, ou seja, \gamma é uma parametrização de uma reta.

Exercícios relacionados