Calcule o comprimento de cada uma das curvas abaixo: \gamma(t)=\left(\cos (t), \operatorname{sen}(t), e^{-t}\right), t \in[0,1]
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a curva paramétrica \gamma(t)=\big(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;e^{-t}\big) definida em t\in[0,1].
Pedido: calcular o comprimento da curva \gamma no intervalo t\in[0,1].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função está parametrizada por t.
O comprimento de uma curva parametrizada por \gamma(t) em [a,b] é o que devemos encontrar.
Passo 2
Lembrete (fórmula) sobre comprimento de curva: se \gamma(t) é diferenciável em [a,b], o comprimento L é dado por
L=\int_a^b \big\|\gamma'(t)\big\|\,dt,
onde \gamma'(t) é a derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana (a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Vou aplicar essa fórmula com a=0 e b=1.
Passo 3
Calcular a derivada \gamma'(t) componente a componente.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2(t)+\cos^2(t)=1, obtemos
\big\|\gamma'(t)\big\|=\sqrt{1+e^{-2t}}.
Passo 5
Montar a integral do comprimento usando o resultado anterior:
L=\int_0^1 \sqrt{1+e^{-2t}}\,dt.
Agora precisamos calcular essa integral. Ela não é imediata com uma primitiva elementar óbvia, então faremos uma substituição conveniente.
Passo 6
Fazer a substituição \;u=e^{-t}. Vou explicar por que essa escolha é natural: o integrando depende de e^{-2t}=(e^{-t})^2, então é útil trocar a variável para u=e^{-t}.
Calcular du: derivando u=e^{-t} dá du=-e^{-t}dt=-u\,dt. Portanto
Interpretação rápida e aproximação (para ajudar na intuição): avaliando numericamente os termos (isso é só uma verificação rápida, não substitui a forma exata),
os termos logarítmicos combinam para um valor negativo pequeno de ordem -0{,}1 aproximadamente,
e o resultado numérico final dá um comprimento L em torno de 1{,}25. (Essa aproximação é só para referência; a resposta exata está na linha final abaixo.)