Calcule o comprimento de cada uma das curvas abaixo:
\gamma(t)=\left(\cos (t), \operatorname{sen}(t), e^{-t}\right), t \in[0,1]

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a curva paramétrica \gamma(t)=\big(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;e^{-t}\big) definida em t\in[0,1].
  • Pedido: calcular o comprimento da curva \gamma no intervalo t\in[0,1].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está parametrizada por t.
  • O comprimento de uma curva parametrizada por \gamma(t) em [a,b] é o que devemos encontrar.

Passo 2

Lembrete (fórmula) sobre comprimento de curva: se \gamma(t) é diferenciável em [a,b], o comprimento L é dado por
L=\int_a^b \big\|\gamma'(t)\big\|\,dt,
onde \gamma'(t) é a derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana (a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Vou aplicar essa fórmula com a=0 e b=1.

Passo 3

Calcular a derivada \gamma'(t) componente a componente.
As componentes de \gamma são:
  • primeira: \cos(t),
  • segunda: \operatorname{sen}(t),
  • terceira: e^{-t}.
Derivando cada uma em relação a t:
\gamma'(t)=\big(-\operatorname{sen}(t),\;\cos(t),\;-e^{-t}\big).

Passo 4

Calcular a norma \big\|\gamma'(t)\big\|. A norma euclidiana de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Então
\big\|\gamma'(t)\big\|=\sqrt{(-\operatorname{sen}(t))^2+(\cos(t))^2+(-e^{-t})^2} =\sqrt{\operatorname{sen}^2(t)+\cos^2(t)+e^{-2t}}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2(t)+\cos^2(t)=1, obtemos
\big\|\gamma'(t)\big\|=\sqrt{1+e^{-2t}}.

Passo 5

Montar a integral do comprimento usando o resultado anterior:
L=\int_0^1 \sqrt{1+e^{-2t}}\,dt.
Agora precisamos calcular essa integral. Ela não é imediata com uma primitiva elementar óbvia, então faremos uma substituição conveniente.

Passo 6

Fazer a substituição \;u=e^{-t}. Vou explicar por que essa escolha é natural: o integrando depende de e^{-2t}=(e^{-t})^2, então é útil trocar a variável para u=e^{-t}.
Calcular du: derivando u=e^{-t} du=-e^{-t}dt=-u\,dt. Portanto
dt=-\frac{du}{u}.
Determinar limites em termos de u:
  • quando t=0, u=e^{0}=1;
  • quando t=1, u=e^{-1}.
Substituindo na integral:
L=\int_{t=0}^{t=1} \sqrt{1+e^{-2t}}\,dt =\int_{u=1}^{u=e^{-1}} \sqrt{1+u^2}\left(-\frac{du}{u}\right).
Invertendo os limites para eliminar o sinal negativo:
L=\int_{u=e^{-1}}^{u=1} \frac{\sqrt{1+u^2}}{u}\,du.

Passo 7

Calcular a primitiva de \dfrac{\sqrt{1+u^2}}{u}. Vou achar uma antiderivada explicando passo a passo.
Defina v=\sqrt{1+u^2}. Então v^2=1+u^2, de onde 2v\,dv=2u\,du, isto é du=\dfrac{v}{u}\,dv.
Substituindo na integral o integrando \dfrac{\sqrt{1+u^2}}{u}\,du:
\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}\,du=\frac{v}{u}\cdot \frac{v}{u}\,dv=\frac{v^2}{u^2}\,dv.
Mas u^2=v^2-1. Logo
\frac{v^2}{u^2}=\frac{v^2}{v^2-1}=1+\frac{1}{v^2-1}.
Portanto a integral em termos de v é simples:
\int \frac{\sqrt{1+u^2}}{u}\,du=\int\left(1+\frac{1}{v^2-1}\right)\,dv = v+\int\frac{1}{v^2-1}\,dv.
Agora calcule \int \dfrac{1}{v^2-1}\,dv. Essa é uma integral padrão que se faz por frações parciais:
\frac{1}{v^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+1}\right),
logo
\int\frac{1}{v^2-1}\,dv=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{v-1}{v+1}\right|+C.
Voltando a v=\sqrt{1+u^2}, uma antiderivada é
F(u)=\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{1+u^2}-1}{\sqrt{1+u^2}+1}\right)+C.
(Como \sqrt{1+u^2}\ge1 para u\ge0, posso remover valor absoluto nos argumentos do log.)

Passo 8

Avaliar a integral definida usando a primitiva F(u) entre u=e^{-1} e u=1:
L=F(1)-F(e^{-1}).
Calcular F(1):
\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}, \qquad F(1)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right).
Calcular F(e^{-1}):
\sqrt{1+e^{-2}}=\sqrt{1+e^{-2}}, \qquad F(e^{-1})=\sqrt{1+e^{-2}}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^{-2}}-1}{\sqrt{1+e^{-2}}+1}\right).
Subtraindo, obtemos
L=\sqrt{2}-\sqrt{1+e^{-2}}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right) -\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^{-2}}-1}{\sqrt{1+e^{-2}}+1}\right).
Podemos combinar os logaritmos em uma única fração, se preferir:
L=\sqrt{2}-\sqrt{1+e^{-2}}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{1+e^{-2}}+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{1+e^{-2}}-1)}\right).

Passo 9

Interpretação rápida e aproximação (para ajudar na intuição): avaliando numericamente os termos (isso é só uma verificação rápida, não substitui a forma exata),
  • \sqrt{2}\approx1{,}4142,
  • \sqrt{1+e^{-2}}\approx\sqrt{1+0{,}1353}\approx1{,}0655,
  • os termos logarítmicos combinam para um valor negativo pequeno de ordem -0{,}1 aproximadamente,
    e o resultado numérico final dá um comprimento L em torno de 1{,}25. (Essa aproximação é só para referência; a resposta exata está na linha final abaixo.)

Resposta

L=\sqrt{2}-\sqrt{1+e^{-2}}+\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{-2}}-1}{\sqrt{1+e^{-2}}+1}\right)

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