Calcule, caso existam, os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas:
  • A função em questão é f(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} definida quando (x,y)\neq(0,0) (no ponto (0,0) a expressão é indeterminada porque o denominador é zero).
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
    O que precisamos decidir: existe um número real L tal que f(x,y)\to L quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho? Se sim, encontrar L; se não, justificar por que não existe.

Passo 2

Lembrete didático (definição prática de limite em várias variáveis).
  • Para que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e seja igual a L, o valor de f(x,y) deve se aproximar de L independentemente do caminho pelo qual (x,y) se aproxima de (0,0).
  • Uma estratégia comum para mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos que chegam a (0,0) e que forneçam limites diferentes ao avaliar f. Outra estratégia é usar coordenadas polares para ver se a expressão depende da direção de chegada.
Vou aplicar as duas ideias: primeiro testar caminhos simples (eixo x e retas) e depois usar coordenadas polares para ver a dependência da direção.

Passo 3

Teste pelo eixo x (caso mais direto).
  • Tome o caminho y=0. Então a função fica, para x\neq0,
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+0^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{x}{|x|}.
  • Se aproximarmos do ponto (0,0) vindo pelo eixo x pela direita (ou seja, x\to0^{+}), então |x|=x e
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{|x|}= \lim_{x\to0^{+}}1 = 1.
  • Se aproximarmos pelo eixo x pela esquerda (ou seja, x\to0^{-}), então |x|=-x e
\lim_{x\to0^{-}}\frac{x}{|x|}= \lim_{x\to0^{-}}(-1) = -1.
Conclusão parcial: já encontramos duas aproximações ao mesmo ponto que dão valores diferentes ( 1 e -1). Isso por si só mostra que o limite global não existe, porque o limite deve ser único e o mesmo para todas as direções. Ainda assim, vamos reforçar a ideia com cálculos mais gerais.

Passo 4

Teste por retas y=mx (mostra dependência do declive).
  • Seja y=mx com m\in\mathbb{R}. Para x\neq0,
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+m^{2}x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}(1+m^{2})}}=\frac{x}{|x|\sqrt{1+m^{2}}}=\frac{\operatorname{sgn}(x)}{\sqrt{1+m^{2}}}.
  • Se x\to0^{+} ao longo dessa reta, o limite é \dfrac{1}{\sqrt{1+m^{2}}}.
  • Se x\to0^{-} ao longo dessa reta, o limite é -\dfrac{1}{\sqrt{1+m^{2}}}.
    Observação: o valor depende de m (ou do sinal de x), então diferentes retas dão diferentes valores em geral. Por exemplo:
  • Para m=0 (eixo x) obtemos 1 (quando x\to0^{+}) e -1 (quando x\to0^{-}).
  • Para m=1 (reta y=x) obtemos \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
    Isso reforça que não há um único valor limite.

Passo 5

Análise em coordenadas polares (visão elegante e definitiva).
  • Faça a substituição polar: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta sendo a direção. Então
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}=\sqrt{r^{2}}=r \quad(\text{para } r\ge0).
  • Para (x,y)\neq(0,0) temos r>0, e a função transforma-se em
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta.
  • Note que o resultado depende só de \theta, e não de r. Ao fazer r\to0^{+} (ou seja, aproximar a origem), o valor da função permanece \cos\theta, que varia com a direção \theta entre -1 e 1.
  • Portanto, diferentes direções \theta dão valores diferentes no limite. Ex.: \theta=0 1, \theta=\pi -1, \theta=\pi/3 1/2.
Conclusão a partir das coordenadas polares: como o valor limite depende de \theta, não existe um único número L tal que todos os caminhos forneçam L. Logo o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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