Calcule, caso existam, os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o valor do limite
Informações dadas:
- A função em questão é
definida quando (no ponto a expressão é indeterminada porque o denominador é zero). - O ponto de interesse é
.
O que precisamos decidir: existe um número realtal que quando se aproxima de por qualquer caminho? Se sim, encontrar ; se não, justificar por que não existe.
Passo 2
Lembrete didático (definição prática de limite em várias variáveis).
- Para que o limite
exista e seja igual a , o valor de deve se aproximar de independentemente do caminho pelo qual se aproxima de . - Uma estratégia comum para mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos que chegam a
e que forneçam limites diferentes ao avaliar . Outra estratégia é usar coordenadas polares para ver se a expressão depende da direção de chegada.
Vou aplicar as duas ideias: primeiro testar caminhos simples (eixo
e retas) e depois usar coordenadas polares para ver a dependência da direção.
Passo 3
Teste pelo eixo
(caso mais direto).
- Tome o caminho
. Então a função fica, para ,
- Se aproximarmos do ponto
vindo pelo eixo pela direita (ou seja, ), então e
- Se aproximarmos pelo eixo
pela esquerda (ou seja, ), então e
Conclusão parcial: já encontramos duas aproximações ao mesmo ponto que dão valores diferentes (
e
). Isso por si só mostra que o limite global não existe, porque o limite deve ser único e o mesmo para todas as direções. Ainda assim, vamos reforçar a ideia com cálculos mais gerais.
Passo 4
Teste por retas
(mostra dependência do declive).
- Seja
com . Para ,
- Se
ao longo dessa reta, o limite é . - Se
ao longo dessa reta, o limite é .
Observação: o valor depende de(ou do sinal de ), então diferentes retas dão diferentes valores em geral. Por exemplo: - Para
(eixo ) obtemos (quando ) e (quando ). - Para
(reta ) obtemos .
Isso reforça que não há um único valor limite.
Passo 5
Análise em coordenadas polares (visão elegante e definitiva).
- Faça a substituição polar:
, , com e sendo a direção. Então
- Para
temos , e a função transforma-se em
- Note que o resultado depende só de
, e não de . Ao fazer (ou seja, aproximar a origem), o valor da função permanece , que varia com a direção entre e . - Portanto, diferentes direções
dão valores diferentes no limite. Ex.: dá , dá , dá .
Conclusão a partir das coordenadas polares: como o valor limite depende de
, não existe um único número
tal que todos os caminhos forneçam
. Logo o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.