Seja
F(t)=\left(\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}, t^{2}, \frac{t-1}{t}\right)
Calcule
\lim _{t \rightarrow 1} F(t)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{t\to 1}F(t)
onde
F(t)=\left(\frac{\sqrt{t}-1}{t-1},\; t^{2},\; \frac{t-1}{t}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função vetorial tem três componentes; portanto a pergunta equivale a calcular o limite de cada componente quando t\to 1.
  • Se substituirmos t=1 diretamente nas componentes obtemos: \frac{\sqrt{1}-1}{1-1}=\frac{0}{0}\quad(\text{forma indeterminada}), \qquad 1^{2}=1, \qquad \frac{1-1}{1}=\frac{0}{1}=0.
  • Logo, a segunda componente parece tender a 1 e a terceira a 0; a primeira dá uma forma 0/0 e precisa de manipulação algébrica para determinar o limite.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada): para uma função vetorial F(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)), se existem os limites \lim_{t\to a}f_i(t) para i=1,2,3, então
\lim_{t\to a}F(t)=\left(\lim_{t\to a}f_1(t),\;\lim_{t\to a}f_2(t),\;\lim_{t\to a}f_3(t)\right).
Isto significa que podemos calcular o limite componente a componente. Vou aplicar isso aquí: calcular \lim_{t\to 1} de cada uma das três funções que formam F(t).

Passo 3

Calcular a segunda componente:
\lim_{t\to 1} t^{2}.
Esta é contínua em t=1, então basta substituir:
\lim_{t\to 1} t^{2}=1^{2}=1.
Explicação curta: polinômios e potências inteiras são funções contínuas, logo o limite é o valor no ponto.

Passo 4

Calcular a terceira componente:
\lim_{t\to 1} \frac{t-1}{t}.
Para t próximo de 1 (mas t\neq 0) essa expressão é bem definida. Substituindo t=1 diretamente obtemos
\frac{1-1}{1}=0.
Portanto
\lim_{t\to 1}\frac{t-1}{t}=0.

Passo 5

Tratar a primeira componente, que dá forma indeterminada:
\lim_{t\to 1}\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}.
Técnica: fatorar t-1 usando a identidade de diferença de quadrados aplicada a \sqrt{t}:
t-1=(\sqrt{t})^{2}-1=(\sqrt{t}-1)(\sqrt{t}+1).
Para t\neq 1 podemos cancelar \sqrt{t}-1 no numerador e denominador, obtendo a expressão equivalente (para t\neq 1):
\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}=\frac{\sqrt{t}-1}{(\sqrt{t}-1)(\sqrt{t}+1)}=\frac{1}{\sqrt{t}+1}.
Agora a função à direita é contínua em t=1, então o limite é dado por substituir t=1:
\lim_{t\to 1}\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}=\lim_{t\to 1}\frac{1}{\sqrt{t}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}.
Comentário didático: a razão desse procedimento é que a forma 0/0 indica que há um fator comum que se pode simplificar; aqui esse fator é exatamente \sqrt{t}-1. Outra maneira (mais avançada) seria aplicar regra de l’Hôpital ou reconhecer que isto é a derivada de \sqrt{t} em t=1, que também dá 1/2, mas a fatoração é a técnica algébrica elementar e suficiente.

Passo 6

Juntando os limites das três componentes pelo resultado do Passo 2, temos:
\lim_{t\to 1}F(t)=\left(\frac{1}{2},\;1,\;0\right).

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},1,0\right)

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