Seja
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
Informações dadas e observações imediatas:
- A função vetorial tem três componentes; portanto a pergunta equivale a calcular o limite de cada componente quando
. - Se substituirmos
diretamente nas componentes obtemos: - Logo, a segunda componente parece tender a
e a terceira a ; a primeira dá uma forma e precisa de manipulação algébrica para determinar o limite.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada): para uma função vetorial
, se existem os limites
para
, então
Isto significa que podemos calcular o limite componente a componente. Vou aplicar isso aquí: calcular
de cada uma das três funções que formam
.
Passo 3
Calcular a segunda componente:
Esta é contínua em
, então basta substituir:
Explicação curta: polinômios e potências inteiras são funções contínuas, logo o limite é o valor no ponto.
Passo 4
Calcular a terceira componente:
Para
próximo de
(mas
) essa expressão é bem definida. Substituindo
diretamente obtemos
Portanto
Passo 5
Tratar a primeira componente, que dá forma indeterminada:
Técnica: fatorar
usando a identidade de diferença de quadrados aplicada a
:
Para
podemos cancelar
no numerador e denominador, obtendo a expressão equivalente (para
):
Agora a função à direita é contínua em
, então o limite é dado por substituir
:
Comentário didático: a razão desse procedimento é que a forma
indica que há um fator comum que se pode simplificar; aqui esse fator é exatamente
. Outra maneira (mais avançada) seria aplicar regra de l’Hôpital ou reconhecer que isto é a derivada de
em
, que também dá
, mas a fatoração é a técnica algébrica elementar e suficiente.
Passo 6
Juntando os limites das três componentes pelo resultado do Passo 2, temos: