O objetivo desta questão é determinar os valores de a e b na função f(x)=a x^2+b x+15 x^2-x e analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Sabendo que a função f(x) tem uma assíntota horizontal em y=15 e uma assíntota vertical em x=15, determine os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a x^2+b x+15 x^2-x
e pede que ela tenha assíntota horizontal em y=tfrac15 e assíntota vertical em x=tfrac15. Vamos usar as propriedades de assíntotas de funções racionais para achar a e b.

Passo 2

Para uma função racional de mesmo grau no numerador e no denominador, a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente do termo x^2 no numerador é a e no denominador é 5, e queremos
a5 = 15
Daí segue que
a = 1

Passo 3

Uma assíntota vertical em x=tfrac15 exige que o denominador zere em x=tfrac15 (o que já ocorre, pois 5x^2 - x = x(5x-1)) e que não haja cancelamento desse zero no numerador. Assim, devemos ter
al(tfrac15r)^2 + bl(tfrac15r) + 1 neq 0
Substituindo a=1:
125 + b5 + 1 neq 0 Longrightarrow 26 + 5b25 neq 0 Longrightarrow 26 + 5b neq 0 Longrightarrow b neq -265

Resposta

a = 1 e b neq -tfrac265.

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