Determine os valores de
e
de modo que a função
tenha a mesma assíntota inclinada que a função
quando
. Nesse, caso o valor de
será:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
e
de forma que a função
tenha a mesma assíntota inclinada que a função
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender sobre assíntotas inclinadas e como elas se comportam para funções polinomiais e radicais quando
vai para
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota da função
. Para isso, observamos o comportamento de
quando
cresce muito:
Quando
é muito grande, os termos com menor potência de
se tornam insignificantes. Então, podemos simplificar:
Mas precisamos ir um passo além para encontrar a assíntota inclinada completa. Vamos fazer uma expansão mais precisa:
Expandindo a raiz:
Portanto:
Então, a assíntota inclinada de
é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
:
Para encontrar a assíntota inclinada de
, precisamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador. Observamos que o grau do numerador é 3 (por causa do termo
) e o grau do denominador é 2. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a assíntota inclinada é obtida realizando a divisão polinomial.
Vamos dividir
por
:
- Primeiro termo:
- Multiplicamos o denominador por
: - Subtraímos desse resultado o numerador original:
- Segundo termo da divisão:
- Multiplicamos o denominador por
: - Subtraímos novamente:
Como estamos interessados na assíntota inclinada, ignoramos os termos de menor grau. Portanto, a assíntota de
é:
Passo 4
Queremos que a assíntota de
seja igual à assíntota de
, ou seja:
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim, temos duas equações:
- Coeficientes de
:
- Termos constantes:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
.
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Sabemos que
, então substituímos:
Calculando
:
Portanto:
Isolando
:
Resposta
O valor de
é
.