Determine os valores de c e d de modo que a função f(x)=4 c x^2+7 d x^3+d+11x^2-11 x tenha a mesma assíntota inclinada que a função h(x)=raiz16 x^2+144 x+121 quando x infty. Nesse, caso o valor de c será:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de c e d de forma que a função
f(x) = 4c x^2 + 7d x^3 + d + 11x^2 - 11x
tenha a mesma assíntota inclinada que a função
h(x) = raiz16x^2 + 144x + 121
quando x tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender sobre assíntotas inclinadas e como elas se comportam para funções polinomiais e radicais quando x vai para infty .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota da função h(x) . Para isso, observamos o comportamento de h(x) quando x cresce muito:
h(x) = raiz16x^2 + 144x + 121
Quando x é muito grande, os termos com menor potência de x se tornam insignificantes. Então, podemos simplificar:
h(x) approx raiz16x^2 = 4x
Mas precisamos ir um passo além para encontrar a assíntota inclinada completa. Vamos fazer uma expansão mais precisa:
h(x) = raiz16x^2 + 144x + 121 = raiz16x^2 (1 + 14416x + 12116x^2) = 4x raiz1 + 9x + 12116x^2
Expandindo a raiz:
raiz1 + 9x + 12116x^2 approx 1 + 92x
Portanto:
h(x) approx 4x (1 + 92x) = 4x + 18
Então, a assíntota inclinada de h(x) é:
y = 4x + 18

Passo 3

Agora, vamos analisar a função f(x) :
f(x) = 4c x^2 + 7d x^3 + d + 11x^2 - 11x
Para encontrar a assíntota inclinada de f(x) , precisamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador. Observamos que o grau do numerador é 3 (por causa do termo 7d x^3 ) e o grau do denominador é 2. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a assíntota inclinada é obtida realizando a divisão polinomial.
Vamos dividir 7d x^3 + 4c x^2 + d + 11 por x^2 - 11x :
  1. Primeiro termo: 7d x^3x^2 = 7d x
  2. Multiplicamos o denominador por 7d x : 7d x (x^2 - 11x) = 7d x^3 - 77d x^2
  3. Subtraímos desse resultado o numerador original:
(7d x^3 + 4c x^2 + d + 11) - (7d x^3 - 77d x^2) = (4c + 77d) x^2 + d + 11
  1. Segundo termo da divisão: (4c + 77d) x^2x^2 = 4c + 77d
  2. Multiplicamos o denominador por 4c + 77d : (4c + 77d)(x^2 - 11x) = (4c + 77d)x^2 - 11(4c + 77d)x
  3. Subtraímos novamente:
(4c + 77d)x^2 + d + 11 - [(4c + 77d)x^2 - 11(4c + 77d)x] = 11(4c + 77d)x + d + 11
Como estamos interessados na assíntota inclinada, ignoramos os termos de menor grau. Portanto, a assíntota de f(x) é:
y = 7d x + (4c + 77d)

Passo 4

Queremos que a assíntota de f(x) seja igual à assíntota de h(x) , ou seja:
7d x + (4c + 77d) = 4x + 18
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo x , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim, temos duas equações:
  1. Coeficientes de x :
7d = 4
  1. Termos constantes:
4c + 77d = 18

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar d e c .
Primeira Equação:
7d = 4 implies d = 47
Segunda Equação:
Sabemos que d = 47 , então substituímos:
4c + 77(47) = 18
Calculando 77 times 47 :
77 times 47 = 11 times 4 = 44
Portanto:
4c + 44 = 18
Isolando 4c :
4c = 18 - 44 implies 4c = -26 implies c = -264 = -132

Resposta

O valor de c é -132 .

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