Seja a temperatura de um disco circular de raio 1 dada por T=y-2 x^2-y^2. (a) Encontre o maior valor de T dentro do disco. (b) Encontre o maior valor de T na borda do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura de um disco circular com raio 1, dada pela função $ T = y - 2x^{2} - y^{2} $. A gente precisa encontrar o maior valor dessa temperatura dentro do disco (parte a) e também na borda do disco (parte b). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e máximos locais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o maior valor de $ T $ dentro do disco. Para isso, precisamos encontrar os pontos críticos da função $ T $, onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ T $ em relação a $ x $:
T
E a derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $:
x
Vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 4

Resolvendo $ \frac{\partial T}{\partial x} = 0 $:
partial Tpartial x = 0
Resolvendo $ \frac{\partial T}{\partial y} = 0 $:
-4x = 0 Rightarrow x = 0
Então, o ponto crítico é $ (0, \frac{1}{2}) $.

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do disco de raio 1. A equação do disco é $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = \frac{1}{2} $:
x^2 + y^2 <= 1
Sim, o ponto está dentro do disco.

Passo 6

Vamos calcular o valor de $ T $ nesse ponto:
T
Esse é o valor de $ T $ no ponto crítico dentro do disco.

Passo 7

Agora, vamos analisar a borda do disco, onde $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para encontrar o máximo de $ T $ na borda, podemos usar o método de substituição ou parametrização. Vou usar a parametrização de $ x $ e $ y $ em termos de um ângulo $ \theta $.

Passo 8

Parametrizamos a borda com:
x = costheta e y = sintheta
Substituindo na função $ T $:
T
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 9

Simplificando $ T(\theta) $:
T(theta)
Usando a identidade $ \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta $:
T(theta) = sintheta - 2cos^2theta - sin^2theta = sintheta - (2cos^2theta + sin^2theta)

Passo 10

Para encontrar o máximo de $ T(\theta) $, derivamos em relação a $ \theta $ e igualamos a zero:
T(theta)
Fatorando $ \cos\theta $:
theta
Então, $ \cos\theta = 0 $ ou $ 1 + 2\sin\theta = 0 $.

Passo 11

Resolvendo $ \cos\theta = 0 $:
costheta = 0
E resolvendo $ 1 + 2\sin\theta = 0 $:
theta = pi2 ou theta = 3pi2
Vamos calcular $ T(\theta) $ nesses ângulos.

Passo 12

Calculando $ T $ nos pontos encontrados:
  • Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
T
  • Para $ \theta = \frac{3\pi}{2} $:
theta = pi2
  • Para $ \theta = \frac{7\pi}{6} $:
T = 1 - 2(0)^2 - 1^2 = 1 - 0 - 1 = 0
theta = 3pi2
  • Para $ \theta = \frac{11\pi}{6} $:
T = -1 - 2(0)^2 - (-1)^2 = -1 - 0 - 1 = -2
theta = 7pi6
Os valores são 0, -2 e - sin(7pi6) = -12, cos(7pi6) = -raiz32 . O maior é 0.

Resposta

(a) O maior valor de $ T $ dentro do disco é $ \frac{1}{4} $.
(b) O maior valor de $ T $ na borda do disco é $ 0 $.

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