Seja a temperatura de um disco circular de raio 1 dada por
. (a) Encontre o maior valor de
dentro do disco. (b) Encontre o maior valor de
na borda do disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura de um disco circular com raio 1, dada pela função $ T = y - 2x^{2} - y^{2} $. A gente precisa encontrar o maior valor dessa temperatura dentro do disco (parte a) e também na borda do disco (parte b). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e máximos locais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o maior valor de $ T $ dentro do disco. Para isso, precisamos encontrar os pontos críticos da função $ T $, onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ T $ em relação a $ x $:
E a derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $:
Vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 4
Resolvendo $ \frac{\partial T}{\partial x} = 0 $:
Resolvendo $ \frac{\partial T}{\partial y} = 0 $:
Então, o ponto crítico é $ (0, \frac{1}{2}) $.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do disco de raio 1. A equação do disco é $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = \frac{1}{2} $:
Sim, o ponto está dentro do disco.
Passo 6
Vamos calcular o valor de $ T $ nesse ponto:
Esse é o valor de $ T $ no ponto crítico dentro do disco.
Passo 7
Agora, vamos analisar a borda do disco, onde $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para encontrar o máximo de $ T $ na borda, podemos usar o método de substituição ou parametrização. Vou usar a parametrização de $ x $ e $ y $ em termos de um ângulo $ \theta $.
Passo 8
Parametrizamos a borda com:
Substituindo na função $ T $:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 9
Simplificando $ T(\theta) $:
Usando a identidade $ \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta $:
Passo 10
Para encontrar o máximo de $ T(\theta) $, derivamos em relação a $ \theta $ e igualamos a zero:
Fatorando $ \cos\theta $:
Então, $ \cos\theta = 0 $ ou $ 1 + 2\sin\theta = 0 $.
Passo 11
Resolvendo $ \cos\theta = 0 $:
E resolvendo $ 1 + 2\sin\theta = 0 $:
Vamos calcular $ T(\theta) $ nesses ângulos.
Passo 12
Calculando $ T $ nos pontos encontrados:
- Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
- Para $ \theta = \frac{3\pi}{2} $:
- Para $ \theta = \frac{7\pi}{6} $:
- Para $ \theta = \frac{11\pi}{6} $:
Os valores são 0, -2 e -
. O maior é 0.
Resposta
(a) O maior valor de $ T $ dentro do disco é $ \frac{1}{4} $.
(b) O maior valor de $ T $ na borda do disco é $ 0 $.