Com o objetivo de recalibrar um velho termômetro com a escala totalmente apagada, um estudante o coloca em equilíbrio térmico, primeiro com gelo fundente e, depois, com água em ebulição sob pressão de 1,0 atmosfera (pressão normal). Em cada caso, ele anota a altura atingida pela coluna de mercúrio: 10,0 \mathrm{~cm} e 30,0 \mathrm{~cm}, respectivamente, medida sempre a partir do centro do bulbo. A seguir, ele espera que o termômetro entre em equilíbrio térmico com o laboratório e verifica que, nessa situação, a altura da coluna de mercúrio é de 18,0 cm . Qual a temperatura do laboratório na escala Celsius desse termômetro?

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos de calibração de um termômetro de mercúrio, supondo que a altura da coluna x (em centímetros) seja linearmente relacionada à temperatura \tau (em graus Celsius). Em equilíbrio com gelo fundente temos
x_1 = \mathrm{10,0\,cm}\quad\text{para}\quad \tau_1 = 0^\circ\text{C},
e em equilíbrio com água em ebulição a 1,0 atm temos
x_2 = \mathrm{30,0\,cm}\quad\text{para}\quad \tau_2 = 100^\circ\text{C}.
Depois, em equilíbrio com o laboratório, mede-se
x_3 = \mathrm{18,0\,cm},
e queremos descobrir \tau_3.

Passo 2

Como assumimos relação linear entre altura x e temperatura \tau, escrevemos
\tau = a\,x + b,
onde a e b são constantes a determinar.

Passo 3

Usando os dois pontos de calibração, obtemos o sistema
\begin{cases} 0 = a\,(10,0) + b,\\\\ 100 = a\,(30,0) + b. \end{cases}

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, vem
100 - 0 = a\bigl(30,0 - 10,0\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 100 = 20,0\,a \quad\Longrightarrow\quad a = 5\,^\circ\text{C/cm}.
Em seguida, de 0 = 5\cdot10,0 + b segue
b = -50\,^\circ\text{C}.
Logo a escala é \tau = 5\,x - 50.

Passo 5

Para x_3 = 18,0 cm,
\tau_3 = 5\cdot 18,0 - 50 = 90 - 50 = 40\,^\circ\text{C}.

Resposta

A temperatura do laboratório na escala Celsius desse termômetro é 40^\circ\text{C}.

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