Um objeto de 1,18 kg sofre a açīio de uma força resultante. conservativa determinato exatamente pela expressio Fs= A x+B x^2, onde A=-3,00 N / m c B=-5,00 N / m^2. O objeto tem uma velocidade de 4,13 n / s no sentido negativo do cixo x quando está no ponto x=4,91 m. Defina a velocidade do objeto quando passa no ponto x=1,77 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um objeto de massa
m = 1,18;kg
sofre uma força conservativa
Fs(x) = A,x + B,x^2
com
A = -3,00;N/m, B = -5,00;N/m^2
Ele passa em x1 = 4,91; m com velocidade
v1 = -4,13;m/s
(no sentido negativo de x) e a gente precisa achar a velocidade v2 quando ele chega em x2 = 1,77; m.
Conteúdo: conservação de energia mecânica (ou teorema trabalho–energia) e potencial de uma força conservativa. Vamos derivar o potencial, calcular energia, e achar v2.

Passo 2

Teorema do trabalho–energia (ou conservação da energia mecânica) diz que, para força conservativa,
K1 + U1 = K2 + U2,
onde
K = tfrac12 m v^2
e U(x) é a energia potencial tal que
Fs(x) = -dUdx
Então os passos são:
1) achar U(x) integrando Fs,
2) calcular U1 = U(x1) e U2 = U(x2),
3) usar K1 + U1 = K2 + U2 pra extrair v2.

Passo 3

Vamos achar U(x). Como Fs(x) = A x + B x^2 = -,dUdx, temos
dUdx = -l(A x + B x^2r)
Integramos em x:
$$U(x) = -\int\bigl(A x + B x^2\bigr),dx
= -\Bigl(A,\frac{x^2}{2} + B,\frac{x^3}{3}\Bigr) + C.$$
A constante U(x) = -integrall(A x + B x^2r),dx = -l(A,x^22 + B,x^33r) + C não importa porque só usamos diferença de potenciais.

Passo 4

Calcular De:
U2 - U1 = -l(A2(x2^2 - x1^2) + B3(x2^3 - x1^3)r)
Substituindo valores:
x_1=4,91, x_2=1,77, A=-3, B=-5,
1) x1^2=24,1081,;x2^2=3,1329;Rightarrow;x2^2-x1^2=-20,9752
2) x1^3approx118,375,;x2^3approx5,544;Rightarrow;x2^3-x1^3=-112,831
Logo
$$U_2 - U_1
= -\Bigl(\frac{-3}{2}\cdot(-20{,}9752) + \frac{-5}{3}\cdot(-112{,}831)\Bigr)
\approx -\bigl(31{,}46 + 188{,}05\bigr)
= -219{,}51;\mathrm J.$$

Passo 5

Escreve energia cinética inicial:
$$K_1 = \tfrac12,m,v_1^2 = \tfrac12\cdot1{,}18\cdot(4{,}13)^2
\approx10{,}06;\mathrm J. K1 = tfrac12,m,v1^2 = tfrac12cdot1,18cdot(4,13)^2 approx10,06; JçãK_2 = K_1 + U_1 - U_2 = K_1 - (U_2 - U_1)
= 10{,}06 - (-219{,}51)
= 229{,}57;\mathrm J.$$

Passo 6

Daí
K2 = tfrac12,m,v2^2 ;Rightarrow;v2^2 = 2K2m = 2cdot229,571,18approx388,8 ;Rightarrow;v2approxraiz388,8 approx19,7;m/s
Como o movimento continua pro lado negativo, a velocidade é
v2 approx -19,7;m/s

Resposta

A velocidade do objeto em x=1,77; m é aproximadamente
boxedv2 = -19,7;m/s

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