Um objeto de
está preso na extremidade de uma mola cuja constante elástica é
. Sua amplitude inicial é
. Uma força de amortecimento atua sobre esse objeto e a amplitude do movimento diminui para
em 10 s . (a) Qual é a constante de amortecimento? (b) Considere, agora, que esse sistema amortecido seja submetido a uma força externa do tipo
. Calcule a amplitude do estado estacionário. Calcule, também, a amplitude de ressonância.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto de 40 gramas preso numa mola com constante elástica de 16 N/m. A amplitude inicial do movimento é de 0,2 metros, e com o tempo, essa amplitude diminui para 0,08 metros em 10 segundos por causa de uma força de amortecimento. A gente vai trabalhar com conceitos de oscillação amortecida e força externa. No primeiro item, vamos encontrar a constante de amortecimento. No segundo, vamos calcular a amplitude quando uma força externa está agindo no sistema e também a amplitude na ressonância.
Passo 2
Parte a: Encontrar a constante de amortecimento
Primeiro, vamos converter a massa de 40 gramas para quilogramas, já que no SI usamos kg.
Sabemos que a amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento. A relação entre a amplitude inicial $ A_0 $ e a amplitude após o tempo $ t $ é dada por:
Onde:
- $ A(t) $ é a amplitude após o tempo $ t $
- $ A_0 $ é a amplitude inicial
- $ b $ é a constante de amortecimento
- $ m $ é a massa
Vamos substituir os valores que temos:
Primeiro, dividimos os dois lados por 0,2:
Agora, tiramos o logaritmo natural dos dois lados para resolver para $ b $:
Multiplicando ambos os lados por $ -0,08 $:
Finalmente, dividimos por 10:
Passo 3
Parte b: Calculando a amplitude do estado estacionário e a amplitude de ressonância
Quando uma força externa está agindo no sistema, a amplitude em estado estacionário é dada por:
Onde:
- $ F_0 $ é a amplitude da força externa
- $ k $ é a constante da mola
- $ m $ é a massa
- $ \omega $ é a frequência angular da força externa
- $ b $ é a constante de amortecimento
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos $ m\omega^2 $:
Agora, calculamos $ k - m\omega^2 $:
Em seguida, calculamos $ b\omega $:
Agora, substituímos todos na fórmula da amplitude:
Amplitude do estado estacionário: aproximadamente 0,743 metros.
Agora, para encontrar a amplitude de ressonância, usamos a fórmula:
Onde $ \omega_r $ é a frequência de ressonância, próxima à frequência natural $ \omega_0 $.
A frequência natural $ \omega_0 $ é dada por:
Assim, a amplitude de ressonância é:
Resposta
(a) A constante de amortecimento é aproximadamente $ 0,00733, N\cdots/m $.
(b) A amplitude do estado estacionário é aproximadamente $ 0,743, m $ e a amplitude de ressonância é aproximadamente $ 68,3, m $.