Um objeto de 40 g está preso na extremidade de uma mola cuja constante elástica é 16 N / m. Sua amplitude inicial é 0,2 m. Uma força de amortecimento atua sobre esse objeto e a amplitude do movimento diminui para 0,08 m em 10 s . (a) Qual é a constante de amortecimento? (b) Considere, agora, que esse sistema amortecido seja submetido a uma força externa do tipo F(t)=(10 N) cos [(8 rad / s) t]. Calcule a amplitude do estado estacionário. Calcule, também, a amplitude de ressonância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto de 40 gramas preso numa mola com constante elástica de 16 N/m. A amplitude inicial do movimento é de 0,2 metros, e com o tempo, essa amplitude diminui para 0,08 metros em 10 segundos por causa de uma força de amortecimento. A gente vai trabalhar com conceitos de oscillação amortecida e força externa. No primeiro item, vamos encontrar a constante de amortecimento. No segundo, vamos calcular a amplitude quando uma força externa está agindo no sistema e também a amplitude na ressonância.

Passo 2

Parte a: Encontrar a constante de amortecimento
Primeiro, vamos converter a massa de 40 gramas para quilogramas, já que no SI usamos kg.
m = 40, g = 0,04, kg
Sabemos que a amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento. A relação entre a amplitude inicial $ A_0 $ e a amplitude após o tempo $ t $ é dada por:
A0
Onde:
  • $ A(t) $ é a amplitude após o tempo $ t $
  • $ A_0 $ é a amplitude inicial
  • $ b $ é a constante de amortecimento
  • $ m $ é a massa
Vamos substituir os valores que temos:
t
Primeiro, dividimos os dois lados por 0,2:
A(t) = A0 e^-b2m t
Agora, tiramos o logaritmo natural dos dois lados para resolver para $ b $:
A(t)
t
Multiplicando ambos os lados por $ -0,08 $:
A0
b
Finalmente, dividimos por 10:
m

Passo 3

Parte b: Calculando a amplitude do estado estacionário e a amplitude de ressonância
Quando uma força externa está agindo no sistema, a amplitude em estado estacionário é dada por:
A = F0raiz(k - momega^2)^2 + (bomega)^2
Onde:
  • $ F_0 $ é a amplitude da força externa
  • $ k $ é a constante da mola
  • $ m $ é a massa
  • $ \omega $ é a frequência angular da força externa
  • $ b $ é a constante de amortecimento
Vamos substituir os valores:
F0
k
m
omega
b
Primeiro, calculamos $ m\omega^2 $:
F0 = 10, N
Agora, calculamos $ k - m\omega^2 $:
k = 16, N/m
Em seguida, calculamos $ b\omega $:
m = 0,04, kg
Agora, substituímos todos na fórmula da amplitude:
omega = 8, rad/s
Amplitude do estado estacionário: aproximadamente 0,743 metros.
Agora, para encontrar a amplitude de ressonância, usamos a fórmula:
b = 0,00733, Ncdots/m â
Onde $ \omega_r $ é a frequência de ressonância, próxima à frequência natural $ \omega_0 $.
A frequência natural $ \omega_0 $ é dada por:
momega^2
Assim, a amplitude de ressonância é:
momega^2 = 0,04 times 8^2 = 0,04 times 64 = 2,56, N/m â

Resposta

(a) A constante de amortecimento é aproximadamente $ 0,00733, N\cdots/m $.
(b) A amplitude do estado estacionário é aproximadamente $ 0,743, m $ e a amplitude de ressonância é aproximadamente $ 68,3, m $.

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