Um objeto de 7,50 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k=1500 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 30,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 20,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine
a energia potencial inicial do sistema massa-mola

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Massa do objeto: 7,50\\ \text{kg}.
  • Constante da mola: 1500\\ \text{N/m}.
  • Deslocamento inicial em relação à posição de equilíbrio: 30{,}0\\ \text{cm}.
  • Velocidade inicial: 20{,}0\\ \text{m/s}.
    Pergunta: determinar a energia potencial inicial do sistema massa-mola. (Observação: a energia potencial elástica depende apenas do deslocamento e da constante da mola.)

Passo 2

Fórmula da energia potencial elástica de uma mola:
U=\frac{1}{2}kx^{2}
Explicando a fórmula:
  • U é a energia potencial elástica, em joules ( \text{J}).
  • k é a constante da mola, em newtons por metro ( \text{N/m}).
  • x é o deslocamento da posição de equilíbrio, em metros ( \text{m}).
    Essa fórmula vem da integração da força elástica F=-kx; geometrica/energicamente, a energia armazenada é a área sob a curva força versus deslocamento, que é um triângulo com base x e altura kx, daí o fator \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Converter o deslocamento para metros:
30{,}0\\ \text{cm} = 0{,}300\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular passo a passo:
  1. Primeiro calcule x^{2}:
x^{2} = (0{,}300)^{2} = 0{,}0900.
  1. Multiplique por k:
kx^{2} = 1500 \cdot 0{,}0900 = 135{,}0.
  1. Aplique o fator \tfrac{1}{2}:
U = \frac{1}{2}\cdot 135{,}0 = 67{,}5.

Passo 5

Verificação de unidades:
\text{N/m}\cdot\text{m}^{2} = \text{N}\cdot\text{m} = \text{J},
logo o resultado está em joules.

Passo 6

Comentário final e significado: a energia potencial inicial do sistema massa-mola, quando a massa está afastada 30{,}0\\ \text{cm} da posição de equilíbrio, é 67{,}5\\ \text{J}. A velocidade inicial não entra no cálculo da energia potencial; ela aparece na energia cinética se quisermos a energia total.

Resposta

67{,}5\\ \text{J}

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