Um objeto de 550 g está sofrendo oscilações harmônicas amortecidas. Se o deslocamento máximo do objeto de seu ponto de equilíbrio cai para
de seu valor original em
. (a) Qual é o valor do tempo de decaimento
? (b) Se o fator de qualidade é
, determine a frequência das oscilações.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Massa do objeto:
. - O deslocamento máximo (amplitude) cai para
do valor inicial em . Ou seja, quando . - Pergunta (a): qual é o valor do tempo de decaimento
? - Pergunta (b): dado o fator de qualidade
, determinar a frequência das oscilações.
Observação: a massa
foi fornecida, mas para resolver essas perguntas (decay time e relação com
) não precisamos usar
explicitamente.
Passo 2
Entendendo o decaimento da amplitude: quando um oscilador amortecido tem amplitude que decai exponencialmente com uma “constante de tempo”
, escrevemos
onde
é a amplitude inicial,
a amplitude no tempo
, e
é o tempo de decaimento (tempo no qual o fator exponencial cai por
se fosse um decaimento por
). A razão das amplitudes é então
No problema temos
para
. Então
Passo 3
Resolver a equação exponencial para
: tomar logaritmo natural em ambos os lados dá
Isolando
obtemos
Agora calculamos numericamente:
, portanto
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 4
Relação entre o fator de qualidade
e as frequências: para um oscilador harmônico amortecido a equação característica é
onde
é a taxa de amortecimento (unidade
) e
é a frequência angular natural (no caso sem amortecimento). A solução para o regime subamortecido tem amplitude com envelope
. Comparando com a expressão usada para
(onde o envelope é
) vemos que
O fator de qualidade é definido por
Isolando
obtemos
Passo 5
Frequência observada (diferente da natural em presença de amortecimento): a frequência angular das oscilações amortecidas é
A frequência em hertz (ciclos por segundo) é
Substituindo
e
obtemos uma forma conveniente:
logo
Agora substituímos os valores numéricos
e
.
Calcule passo a passo:
O fator dentro da raiz é
e
. Portanto a frequência amortecida é
(Se fizermos a aproximação
válida para amortecimento fraco, obteríamos
; a diferença é pequena.)
Resposta
(a)
(b)
(b)