Um objeto de 550 g está sofrendo oscilações harmônicas amortecidas. Se o deslocamento máximo do objeto de seu ponto de equilíbrio cai para 1 / 15 de seu valor original em 0,99 \mathrm{~s}. (a) Qual é o valor do tempo de decaimento \tau ? (b) Se o fator de qualidade é \mathrm{Q}=2,5, determine a frequência das oscilações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Massa do objeto: m=550\\ \mathrm{g}=0{,}55\\ \mathrm{kg}.
  • O deslocamento máximo (amplitude) cai para \tfrac{1}{15} do valor inicial em t=0{,}99\\ \mathrm{s}. Ou seja, A(t)/A_0 = 1/15 quando t=0{,}99\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta (a): qual é o valor do tempo de decaimento \tau?
  • Pergunta (b): dado o fator de qualidade Q=2{,}5, determinar a frequência das oscilações.
Observação: a massa m foi fornecida, mas para resolver essas perguntas (decay time e relação com Q) não precisamos usar m explicitamente.

Passo 2

Entendendo o decaimento da amplitude: quando um oscilador amortecido tem amplitude que decai exponencialmente com uma “constante de tempo” \tau, escrevemos
A(t)=A_0 e^{-t/\tau},
onde A_0 é a amplitude inicial, A(t) a amplitude no tempo t, e \tau é o tempo de decaimento (tempo no qual o fator exponencial cai por e se fosse um decaimento por e). A razão das amplitudes é então
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-t/\tau}.
No problema temos \dfrac{A(t)}{A_0}=\dfrac{1}{15} para t=0{,}99\\ \mathrm{s}. Então
e^{-0{,}99/\tau}=\frac{1}{15}.

Passo 3

Resolver a equação exponencial para \tau: tomar logaritmo natural em ambos os lados dá
-\frac{0{,}99}{\tau}=\ln\!\left(\frac{1}{15}\right)=-\ln(15).
Isolando \tau obtemos
\tau=\frac{0{,}99}{\ln(15)}.
Agora calculamos numericamente: \ln(15)\approx 2{,}70805, portanto
\tau\approx\frac{0{,}99}{2{,}70805}\approx 0{,}3656\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente, \tau\approx 0{,}366\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Relação entre o fator de qualidade Q e as frequências: para um oscilador harmônico amortecido a equação característica é
\ddot x + 2\beta \dot x + \omega_0^2 x = 0,
onde \beta é a taxa de amortecimento (unidade \mathrm{s^{-1}}) e \omega_0 é a frequência angular natural (no caso sem amortecimento). A solução para o regime subamortecido tem amplitude com envelope e^{-\beta t}. Comparando com a expressão usada para \tau (onde o envelope é e^{-t/\tau}) vemos que
\beta=\frac{1}{\tau}.
O fator de qualidade é definido por
Q=\frac{\omega_0}{2\beta}.
Isolando \omega_0 obtemos
\omega_0 = 2Q\beta = \frac{2Q}{\tau}.

Passo 5

Frequência observada (diferente da natural em presença de amortecimento): a frequência angular das oscilações amortecidas é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}.
A frequência em hertz (ciclos por segundo) é
f=\frac{\omega_d}{2\pi}.
Substituindo \beta=1/\tau e \omega_0=2Q/\tau obtemos uma forma conveniente:
\omega_d = \frac{2Q}{\tau}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}},
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f=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2Q}{\tau}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=\frac{Q}{\pi\tau}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}.
Agora substituímos os valores numéricos \tau\approx 0{,}3656\\ \mathrm{s} e Q=2{,}5.
Calcule passo a passo:
\frac{Q}{\pi\tau}=\frac{2{,}5}{\pi\cdot 0{,}3656}\approx \frac{2{,}5}{1{,}1486}\approx 2{,}1779\\ \mathrm{Hz}.
O fator dentro da raiz é
1-\frac{1}{4Q^2}=1-\frac{1}{4\cdot (2{,}5)^2}=1-\frac{1}{25}=0{,}96,
e \sqrt{0{,}96}\approx 0{,}9798. Portanto a frequência amortecida é
f\approx 2{,}1779\times 0{,}9798\approx 2{,}13\\ \mathrm{Hz}.
(Se fizermos a aproximação \omega_d\approx\omega_0 válida para amortecimento fraco, obteríamos f\approx Q/(\pi\tau)\approx 2{,}18\\ \mathrm{Hz}; a diferença é pequena.)

Resposta

(a) \tau\approx 0{,}366\\ \mathrm{s}
(b) f\approx 2{,}13\\ \mathrm{Hz}

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