O tubo A é aberto nas duas extremidades e tem um comprimento
. Queremos colocá-lo nas proximidades de três outros tubos nos quais existem ondas estacionárias para que o som produza uma onda estacionária no tubo A . Os três tubos são fechados em uma extremidade e têm comprimentos
e
. Para cada um dos tubos, qual é a ordem do harmônico capaz de excitar um harmônico no tubo A?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
Informações fornecidas:
- O tubo
é aberto nas duas extremidades e tem comprimento . - Há três outros tubos, todos fechados em uma extremidade, com comprimentos:
,
,
. - Queremos colocá-los perto do tubo
de modo que o som de um deles excite uma onda estacionária (um harmônico) no tubo .
O que o enunciado pede:
- Para cada tubo
, e , determinar quais ordens de harmônico desse tubo (os tubos fechados) podem excitar um harmônico no tubo . Ou seja: quais ordens possíveis do tubo fechado geram uma frequência que coincide com alguma das frequências harmônicas do tubo .
Passo 2
Conceitos essenciais (fórmulas e o que cada símbolo significa) — vamos devagar e bem explícito.
-
Ondas estacionárias em um tubo aberto nas duas extremidades:onde
é a frequência do -ésimo harmônico do tubo , é um inteiro positivo ( ), é a velocidade do som no ar e é o comprimento do tubo .
Explicação intuitiva: num tubo aberto em ambas as extremidades há nodos e antinodos tal que o comprimento cabe múltiplos de meia‑onda; daí o fatorno denominador. -
Ondas estacionárias em um tubo fechado em uma extremidade:onde
é a frequência do -ésimo harmônico do tubo fechado , é um inteiro ímpar ( ), é a velocidade do som e é o comprimento do tubo .
Explicação intuitiva: num tubo fechado só aparecem harmônicos ímpares porque a condição de contorno (um extremo fechado — nó de deslocamento — e outro aberto — ventre) implica que o comprimento corresponde a um quarto de onda, três quartos, cinco quartos etc.; daí o fatore a restrição a ímpar.
Observação importante:
e
aparecem nas duas fórmulas; quando igualamos frequências o
cancela, então não precisamos do valor numérico de
. Também notamos que
aparece nas relações entre comprimentos, o que facilita.
Passo 3
Condição de ressonância entre um tubo fechado
e o tubo
:
- Para que um harmônico do tubo fechado excite um harmônico do tubo
, suas frequências devem coincidir: - Substituindo as fórmulas:
- Cancelando
e reorganizando: - Lembrete: para um tubo fechado
precisa ser um inteiro ímpar ( ); para o tubo é inteiro positivo qualquer ( ). Então vamos substituir por cada relação dada e ver quais possíveis surgem.
Passo 4
Análise para o tubo
com
.
- Usando a relação geral:
- Conclusão matemática:
. - Mas lembrando a restrição física:
deve ser ímpar. Logo somente os valores de que são ímpares correspondem a harmônicos válidos do tubo . - Interpretação prática: cada harmônico ímpar do tubo
(isto é ) tem a mesma frequência do harmônico de mesma ordem no tubo . Portanto os harmônicos ímpares de excitam os harmônicos ímpares correspondentes de .
Passo 5
Análise para o tubo
com
.
- Aplicando a fórmula:
- Então
. Como precisa ser inteiro e ímpar, escrevemos e obtemos . - Isso dá os pares correspondentes:
-
, -
, -
, - e assim por diante.
-
- Interpretação prática: os harmônicos ímpares do tubo
( ) correspondem aos harmônicos do tubo com ordens (ou seja, não são todos os harmônicos pares de , mas aqueles da forma ). Portanto os harmônicos ímpares de podem excitar esses harmônicos específicos em .
Passo 6
Análise para o tubo
com
.
- Usando a relação:
- Assim
. Mas lembre-se: deve ser ímpar. Entretanto é sempre múltiplo de , logo sempre par (na verdade múltiplo de 4), jamais ímpar. - Conclusão: não existe
inteiro positivo tal que seja ímpar. Portanto nenhum harmônico permitido do tubo (fechado) coincide com algum harmônico do tubo . - Interpretação prática: o tubo
não pode excitar uma onda estacionária ressonante no tubo (considerando as séries harmônicas teóricas e comprimentos dados).
Passo 7
Recapitulando de forma direta e útil para a prova:
- Para cada tubo fechado, os harmônicos possíveis são
. Usando a relação e os fatores dados de obtivemos quais (ímpares) geram coincidência com algum do tubo .
Resposta
B:
(cada harmônico ímpar de
coincide com o harmônico de mesma ordem
em
).\n
C: (cada harmônico ímpar de
coincide com os harmônicos de
de ordem
, isto é,
).\n
D: nenhum harmônico (nenhum ímpar de
coincide com qualquer harmônico de
).
C:
D: nenhum harmônico (nenhum