O tubo A é aberto nas duas extremidades e tem um comprimento \mathrm{LA}=0,343 \mathrm{~m}. Queremos colocá-lo nas proximidades de três outros tubos nos quais existem ondas estacionárias para que o som produza uma onda estacionária no tubo A . Os três tubos são fechados em uma extremidade e têm comprimentos \mathrm{L}_{\mathrm{B}}=0,500 \mathrm{~L}_{\mathrm{A}}, \mathrm{L}_{\mathrm{C}}=0,250 \mathrm{~L}_{\mathrm{A}} e \mathrm{L}_{\mathrm{D}}=2,00 \mathrm{~L}_{\mathrm{A}}. Para cada um dos tubos, qual é a ordem do harmônico capaz de excitar um harmônico no tubo A?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
Informações fornecidas:
  • O tubo A é aberto nas duas extremidades e tem comprimento \mathrm{L_A}=0{,}343\\ \mathrm{m}.
  • Há três outros tubos, todos fechados em uma extremidade, com comprimentos:
    \mathrm{L_B}=0{,}500\,\mathrm{L_A},
    \mathrm{L_C}=0{,}250\,\mathrm{L_A},
    \mathrm{L_D}=2{,}00\,\mathrm{L_A}.
  • Queremos colocá-los perto do tubo A de modo que o som de um deles excite uma onda estacionária (um harmônico) no tubo A.
O que o enunciado pede:
  • Para cada tubo B, C e D, determinar quais ordens de harmônico desse tubo (os tubos fechados) podem excitar um harmônico no tubo A. Ou seja: quais ordens possíveis do tubo fechado geram uma frequência que coincide com alguma das frequências harmônicas do tubo A.

Passo 2

Conceitos essenciais (fórmulas e o que cada símbolo significa) — vamos devagar e bem explícito.
  • Ondas estacionárias em um tubo aberto nas duas extremidades:
    f_A(n)=\frac{n\,v}{2\,\mathrm{L_A}},
    onde f_A(n) é a frequência do n-ésimo harmônico do tubo A, n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots), v é a velocidade do som no ar e \mathrm{L_A} é o comprimento do tubo A.
    Explicação intuitiva: num tubo aberto em ambas as extremidades há nodos e antinodos tal que o comprimento cabe múltiplos de meia‑onda; daí o fator 2 no denominador.
  • Ondas estacionárias em um tubo fechado em uma extremidade:
    f_X(m)=\frac{m\,v}{4\,\mathrm{L_X}},
    onde f_X(m) é a frequência do m-ésimo harmônico do tubo fechado X, m é um inteiro ímpar ( m=1,3,5,\dots), v é a velocidade do som e \mathrm{L_X} é o comprimento do tubo X.
    Explicação intuitiva: num tubo fechado só aparecem harmônicos ímpares porque a condição de contorno (um extremo fechado — nó de deslocamento — e outro aberto — ventre) implica que o comprimento corresponde a um quarto de onda, três quartos, cinco quartos etc.; daí o fator 4 e a restrição a m ímpar.
Observação importante: v e \mathrm{L_A} aparecem nas duas fórmulas; quando igualamos frequências o v cancela, então não precisamos do valor numérico de v. Também notamos que \mathrm{L_A} aparece nas relações entre comprimentos, o que facilita.

Passo 3

Condição de ressonância entre um tubo fechado X e o tubo A:
  • Para que um harmônico do tubo fechado excite um harmônico do tubo A, suas frequências devem coincidir: f_X(m)=f_A(n).
  • Substituindo as fórmulas: \frac{m\,v}{4\,\mathrm{L_X}}=\frac{n\,v}{2\,\mathrm{L_A}}.
  • Cancelando v e reorganizando: m=\frac{2\,n\,\mathrm{L_X}}{\mathrm{L_A}}.
  • Lembrete: para um tubo fechado m precisa ser um inteiro ímpar ( 1,3,5,\dots); para o tubo A n é inteiro positivo qualquer ( 1,2,3,\dots). Então vamos substituir \mathrm{L_X} por cada relação dada e ver quais m possíveis surgem.

Passo 4

Análise para o tubo B com \mathrm{L_B}=0{,}500\,\mathrm{L_A}=\tfrac{1}{2}\mathrm{L_A}.
  • Usando a relação geral: m=\frac{2\,n\,\mathrm{L_B}}{\mathrm{L_A}}=\frac{2\,n\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{L_A}\right)}{\mathrm{L_A}}=n.
  • Conclusão matemática: m=n.
  • Mas lembrando a restrição física: m deve ser ímpar. Logo somente os valores de n que são ímpares correspondem a harmônicos válidos do tubo B.
  • Interpretação prática: cada harmônico ímpar do tubo B (isto é m=1,3,5,\dots) tem a mesma frequência do harmônico de mesma ordem n=m no tubo A. Portanto os harmônicos ímpares de B excitam os harmônicos ímpares correspondentes de A.

Passo 5

Análise para o tubo C com \mathrm{L_C}=0{,}250\,\mathrm{L_A}=\tfrac{1}{4}\mathrm{L_A}.
  • Aplicando a fórmula: m=\frac{2\,n\,\mathrm{L_C}}{\mathrm{L_A}}=\frac{2\,n\left(\tfrac{1}{4}\mathrm{L_A}\right)}{\mathrm{L_A}}=\frac{n}{2}.
  • Então m=\tfrac{n}{2}. Como m precisa ser inteiro e ímpar, escrevemos m=1,3,5,\dots e obtemos n=2m.
  • Isso dá os pares correspondentes:
    • m=1 \Rightarrow n=2,
    • m=3 \Rightarrow n=6,
    • m=5 \Rightarrow n=10,
    • e assim por diante.
  • Interpretação prática: os harmônicos ímpares do tubo C ( m=1,3,5,\dots) correspondem aos harmônicos do tubo A com ordens n=2,6,10,\dots (ou seja, não são todos os harmônicos pares de A, mas aqueles da forma n=4k+2). Portanto os harmônicos ímpares de C podem excitar esses harmônicos específicos em A.

Passo 6

Análise para o tubo D com \mathrm{L_D}=2{,}00\,\mathrm{L_A}=2\mathrm{L_A}.
  • Usando a relação: m=\frac{2\,n\,\mathrm{L_D}}{\mathrm{L_A}}=\frac{2\,n\,(2\mathrm{L_A})}{\mathrm{L_A}}=4n.
  • Assim m=4n. Mas lembre-se: m deve ser ímpar. Entretanto 4n é sempre múltiplo de 4, logo sempre par (na verdade múltiplo de 4), jamais ímpar.
  • Conclusão: não existe n inteiro positivo tal que m=4n seja ímpar. Portanto nenhum harmônico permitido do tubo D (fechado) coincide com algum harmônico do tubo A.
  • Interpretação prática: o tubo D não pode excitar uma onda estacionária ressonante no tubo A (considerando as séries harmônicas teóricas e comprimentos dados).

Passo 7

Recapitulando de forma direta e útil para a prova:
  • Para cada tubo fechado, os harmônicos possíveis são m=1,3,5,\dots. Usando a relação m=\dfrac{2n\mathrm{L_X}}{\mathrm{L_A}} e os fatores dados de \mathrm{L_X}/\mathrm{L_A} obtivemos quais m (ímpares) geram coincidência com algum n do tubo A.

Resposta

B: m=1,3,5,\dots (cada harmônico ímpar de B coincide com o harmônico de mesma ordem n=m em A).\n
C: m=1,3,5,\dots (cada harmônico ímpar de C coincide com os harmônicos de A de ordem n=2,6,10,\dots, isto é, n=2m).\n
D: nenhum harmônico (nenhum m ímpar de D coincide com qualquer harmônico de A).

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