Um cubo homogêneo de densidade
, massa
e comprimento do lado b tem um vértice na origem e três lados adjacentes repousando ao longo dos eixos coordenados.
Calcule o tensor de inércia deste cubo.
Calcule o tensor de inércia deste cubo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o tensor de inércia de um cubo homogêneo com densidade
, massa
e aresta
. O cubo tem um vértice em
e suas arestas coincidem com os eixos coordenados positivos. Dados importantes que extraí do enunciado:
A massa total está relacionada à densidade por
A pergunta é: determinar o tensor de inércia relativo à origem
(o vértice do cubo).
Passo 2
Vou lembrar a definição útil do tensor de inércia para um corpo contínuo, que é a fórmula que vamos aplicar. Para um sistema de coordenadas
e densidade
,
onde
e
é o delta de Kronecker (
se
e
caso contrário). Explico o que cada termo representa:
-
(componentes diagonais) são os momentos de inércia em torno do eixo e, pela fórmula, equivalem a integrar vezes a soma dos quadrados das coordenadas perpendiculares. -
com (off-diagonais) são os produtos de inércia e aparecem com sinal negativo na integral .
Vamos aplicar isso integrando sobre o volume do cubo. Sempre que surgir no resultado final, vou substituí-lo usando para escrever as componentes em função de e .
Passo 3
Calculemos a primeira componente diagonal
. Pela definição,
Como o domínio é retangular, separamos as integrais:
Cada integral simples vale:
Logo
Pelo mesmo raciocínio
. Portanto
Passo 4
Substituindo
obtemos
Pelo princípio de simetria do cubo (as três direções são equivalentes na configuração com vértice na origem), as demais componentes diagonais são iguais:
Passo 5
Agora calculamos um produto de inércia qualquer, por exemplo
(que é igual a
). Pela fórmula:
Calculemos a integral:
Cada uma dessas integrais vale:
Multiplicando:
Portanto
Passo 6
Novamente substituímos
:
Pelo mesmo raciocínio (simetria) os outros produtos de inércia são iguais:
e
. O tensor é simétrico, como deve ser.
Passo 7
Montando a matriz do tensor de inércia na base canônica
, temos