Um cubo homogêneo de densidade \rho, massa M e comprimento do lado b tem um vértice na origem e três lados adjacentes repousando ao longo dos eixos coordenados.
Calcule o tensor de inércia deste cubo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tensor de inércia de um cubo homogêneo com densidade \rho, massa M e aresta b. O cubo tem um vértice em (0,0,0) e suas arestas coincidem com os eixos coordenados positivos. Dados importantes que extraí do enunciado:
0 \le x_1 \le b,\qquad 0 \le x_2 \le b,\qquad 0 \le x_3 \le b.
A massa total está relacionada à densidade por
M=\rho b^{3}.
A pergunta é: determinar o tensor de inércia relativo à origem (0,0,0) (o vértice do cubo).

Passo 2

Vou lembrar a definição útil do tensor de inércia para um corpo contínuo, que é a fórmula que vamos aplicar. Para um sistema de coordenadas (x_1,x_2,x_3) e densidade \rho,
I_{ij}=\int_V \rho\left(r^{2}\delta_{ij}-x_i x_j\right)\,dV,
onde r^{2}=x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2} e \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j e 0 caso contrário). Explico o que cada termo representa:
  • I_{ii} (componentes diagonais) são os momentos de inércia em torno do eixo x_i e, pela fórmula, equivalem a integrar \rho vezes a soma dos quadrados das coordenadas perpendiculares.
  • I_{ij} com i\neq j (off-diagonais) são os produtos de inércia e aparecem com sinal negativo na integral -\rho\int x_i x_j\,dV.
    Vamos aplicar isso integrando sobre o volume do cubo V=[0,b]^3. Sempre que surgir \rho no resultado final, vou substituí-lo usando M=\rho b^3 para escrever as componentes em função de M e b.

Passo 3

Calculemos a primeira componente diagonal I_{11}. Pela definição,
I_{11}=\int_V \rho\,(x_2^{2}+x_3^{2})\,dV.
Como o domínio é retangular, separamos as integrais:
\int_V x_2^{2}\,dV=\int_{0}^{b}\!\int_{0}^{b}\!\int_{0}^{b} x_2^{2}\,dx_1\,dx_2\,dx_3 =\left(\int_{0}^{b}dx_1\right)\left(\int_{0}^{b}x_2^{2}dx_2\right)\left(\int_{0}^{b}dx_3\right).
Cada integral simples vale:
\int_{0}^{b}dx_1=b,\qquad \int_{0}^{b}x_2^{2}dx_2=\frac{b^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{b}dx_3=b.
Logo
\int_V x_2^{2}\,dV=b\cdot\frac{b^{3}}{3}\cdot b=\frac{b^{5}}{3}.
Pelo mesmo raciocínio \int_V x_3^{2}\,dV=\dfrac{b^{5}}{3}. Portanto
I_{11}=\rho\left(\frac{b^{5}}{3}+\frac{b^{5}}{3}\right)=\rho\frac{2b^{5}}{3}.

Passo 4

Substituindo \rho=\dfrac{M}{b^{3}} obtemos
I_{11}=\frac{M}{b^{3}}\cdot\frac{2b^{5}}{3}=\frac{2}{3}Mb^{2}.
Pelo princípio de simetria do cubo (as três direções são equivalentes na configuração com vértice na origem), as demais componentes diagonais são iguais:
I_{22}=I_{33}=\frac{2}{3}Mb^{2}.

Passo 5

Agora calculamos um produto de inércia qualquer, por exemplo I_{12} (que é igual a I_{21}). Pela fórmula:
I_{12}=-\int_V \rho\,x_1 x_2\,dV.
Calculemos a integral:
\int_V x_1 x_2\,dV=\int_{0}^{b}\!\int_{0}^{b}\!\int_{0}^{b} x_1 x_2\,dx_1\,dx_2\,dx_3 =\left(\int_{0}^{b}x_1 dx_1\right)\left(\int_{0}^{b}x_2 dx_2\right)\left(\int_{0}^{b}dx_3\right).
Cada uma dessas integrais vale:
\int_{0}^{b}x_1 dx_1=\frac{b^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{b}x_2 dx_2=\frac{b^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{b}dx_3=b.
Multiplicando:
\int_V x_1 x_2\,dV=\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}}{2}\cdot b=\frac{b^{5}}{4}.
Portanto
I_{12}=-\rho\frac{b^{5}}{4}.

Passo 6

Novamente substituímos \rho=\dfrac{M}{b^{3}}:
I_{12}=-\frac{M}{b^{3}}\cdot\frac{b^{5}}{4}=-\frac{1}{4}Mb^{2}.
Pelo mesmo raciocínio (simetria) os outros produtos de inércia são iguais:
I_{13}=I_{23}= -\frac{1}{4}Mb^{2},
e I_{21}=I_{12},\;I_{31}=I_{13},\;I_{32}=I_{23}. O tensor é simétrico, como deve ser.

Passo 7

Montando a matriz do tensor de inércia na base canônica (x_1,x_2,x_3), temos
\mathbf{I}=\begin{pmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13}\\[4pt] I_{21} & I_{22} & I_{23}\\[4pt] I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix} = Mb^{2}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\[6pt] -\dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{4}\\[6pt] -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

\mathbf{I}=Mb^{2}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\[6pt] -\dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{4}\\[6pt] -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}]

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