Um objeto é atirado para o ar. Quando ele atinge uma altura de 9,0 m em relação ao ponto de lançamento, sua velocidade é dada por v=4 i+3 j em m / s. (a) Até que altura o objeto subirá? (b) Na altura máxima, qual a velocidade do objeto? Escreva a velocidade em termos dos seus componentes x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que foi lançado para o ar e, quando ele está a 9,0 metros de altura, a velocidade dele é dada por v = 4 i + 3 j , m/s. Aqui, i representa a componente horizontal da velocidade e j representa a componente vertical. Vamos usar conceitos de movimento projetado e cinemática para resolver as duas partes da questão:
(a) Descobrir até que altura o objeto vai subir.
(b) Encontrar qual é a velocidade do objeto no ponto mais alto, separando em componentes x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade ( vy) é zero, porque o objeto para de subir e começa a descer. Isso vai nos ajudar a encontrar a altura máxima.

Passo 3

Vamos focar na parte vertical do movimento. A equação que relaciona a velocidade final, a velocidade inicial, a aceleração e a distância é:
vy^2 = vy0^2 + 2 ay De
Aqui, vy é a velocidade final (que será 0 no ponto mais alto), vy0 é a velocidade inicial na direção y, ay é a aceleração (que é a aceleração da gravidade, -9,8 , m/s^2, pois está atuando para baixo), e De é a variação de altura que queremos encontrar.

Passo 4

Sabemos que, quando a altura é 9,0 m, a velocidade vertical é 3 m/s (a componente j da velocidade). Então, podemos usar isso para encontrar a velocidade inicial vy0. Mas primeiro, reorganizamos a equação para resolver vy0:
vy0 = raizvy^2 - 2 ay De
Substituindo os valores:
vy0 = raiz3^2 - 2 (-9,8) (9,0) = raiz9 + 176,4 = raiz185,4 approx 13,61 , m/s

Passo 5

Agora que temos a velocidade inicial na direção y, vamos usar essa para encontrar a altura máxima. Usamos novamente a equação:
0 = vy0^2 + 2 ay De
Resolvendo para De:
De
Isso é a partir do ponto onde a velocidade era 3 m/s. Para achar a altura total, somamos os 9,0 m iniciais:
Aá

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos a velocidade no ponto mais alto. Já sabemos que, na altura máxima, a componente vertical da velocidade é zero ( vy = 0). A componente horizontal da velocidade ( vx) não muda durante o movimento, já que não há aceleração na direção horizontal (considerando resistência do ar desprezível). Assim, vx = 4 , m/s.

Passo 7

Então, na altura máxima, a velocidade do objeto é apenas na direção x, já que vy = 0. Portanto:
v = 4 i + 0 j , m/s

Resposta

(a) A altura máxima que o objeto alcança é de aproximadamente 18,45 metros.
(b) Na altura máxima, a velocidade do objeto é v = 4 i + 0 j , m/s.

Exercícios relacionados