Um objeto é atirado para o ar. Quando ele atinge uma altura de
em relação ao ponto de lançamento, sua velocidade é dada por
. (a) Até que altura o objeto subirá? (b) Na altura máxima, qual a velocidade do objeto? Escreva a velocidade em termos dos seus componentes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que foi lançado para o ar e, quando ele está a 9,0 metros de altura, a velocidade dele é dada por
. Aqui,
representa a componente horizontal da velocidade e
representa a componente vertical. Vamos usar conceitos de movimento projetado e cinemática para resolver as duas partes da questão:
(a) Descobrir até que altura o objeto vai subir.
(b) Encontrar qual é a velocidade do objeto no ponto mais alto, separando em componentes e
.
(a) Descobrir até que altura o objeto vai subir.
(b) Encontrar qual é a velocidade do objeto no ponto mais alto, separando em componentes
Passo 2
Primeiro, vamos entender que no ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade (
) é zero, porque o objeto para de subir e começa a descer. Isso vai nos ajudar a encontrar a altura máxima.
Passo 3
Vamos focar na parte vertical do movimento. A equação que relaciona a velocidade final, a velocidade inicial, a aceleração e a distância é:
Aqui,
é a velocidade final (que será 0 no ponto mais alto),
é a velocidade inicial na direção
,
é a aceleração (que é a aceleração da gravidade,
, pois está atuando para baixo), e
é a variação de altura que queremos encontrar.
Passo 4
Sabemos que, quando a altura é 9,0 m, a velocidade vertical é 3 m/s (a componente
da velocidade). Então, podemos usar isso para encontrar a velocidade inicial
. Mas primeiro, reorganizamos a equação para resolver
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos a velocidade inicial na direção
, vamos usar essa para encontrar a altura máxima. Usamos novamente a equação:
Resolvendo para
:
Isso é a partir do ponto onde a velocidade era 3 m/s. Para achar a altura total, somamos os 9,0 m iniciais:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos a velocidade no ponto mais alto. Já sabemos que, na altura máxima, a componente vertical da velocidade é zero (
). A componente horizontal da velocidade (
) não muda durante o movimento, já que não há aceleração na direção horizontal (considerando resistência do ar desprezível). Assim,
.
Passo 7
Então, na altura máxima, a velocidade do objeto é apenas na direção
, já que
. Portanto:
Resposta
(a) A altura máxima que o objeto alcança é de aproximadamente 18,45 metros.
(b) Na altura máxima, a velocidade do objeto é .
(b) Na altura máxima, a velocidade do objeto é