Um termômetro de massa 0,055 \mathrm{~kg} e capacidade térmica de 46,1 \mathrm{~J} / \mathrm{K} indica 15,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida ele é completamente imerso em 0,300 \mathrm{~kg} de água e atinge a mesma temperatura final da água. Se o termômetro indica 44,4^{\circ} \mathrm{C}, qual era a temperatura da água antes de o termômetro ser inserido, desprezando outras perdas de calor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Massa do termômetro: m_t = 0,055\\ \mathrm{kg}.
  • Capacidade térmica do termômetro (isto é, a capacidade térmica total, não o calor específico): C_t = 46,1\\ \mathrm{J/K}. (Isto significa que para aquecer o termômetro em 1\\ \mathrm{K} são necessários 46{,}1\\ \mathrm{J}.)
  • Temperatura inicial do termômetro: T_{t,i}=15{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água: m_w = 0,300\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura final comum (termômetro e água): T_f = 44{,}4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i} (incógnita que devemos achar).
  • Desprezar outras perdas de calor (isolamento perfeito entre os dois corpos).
O que o enunciado pede: determinar \;T_{w,i}, a temperatura da água antes de imergir o termômetro.

Passo 2

Princípio físico a usar: conservação de energia térmica (primeiro princípio para troca de calor sem trabalho). Em um sistema isolado (termômetro + água), o calor perdido por um corpo é igual ao calor ganho pelo outro. Assim:
\text{calor ganho pelo termômetro} = -\,\text{calor ganho pela água}.ôá
Vou usar a convenção escalar simples: calor recebido positivo. Então a água (se estiver mais quente que o equilíbrio) perde calor e o termômetro ganha calor.

Passo 3

Fórmulas de calor que vamos usar e o que cada símbolo significa:
  • Para o termômetro, usa-se a capacidade térmica C_t (unidade \mathrm{J/K}). O calor ganho pelo termômetro ao variar de temperatura é
Q_t = C_t\,(T_f - T_{t,i}),
onde T_f e T_{t,i} estão em graus Celsius ou Kelvin — diferenças são equivalentes nas duas escalas.
  • Para a água, usa-se massa m_w e calor específico c_w. O calor ganho (ou perdido) pela água é
Q_w = m_w\,c_w\,(T_f - T_{w,i}).
Aqui c_w é o calor específico da água; vou usar o valor padrão aproximadamente
c_w = 4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Esse é um valor comumente adotado; se outro valor for pedido pela banca, bastaria substituí‑lo.)

Passo 4

Igualando o calor ganho pelo termômetro ao calor perdido pela água (ou seja, Q_t + Q_w = 0), obtemos:
C_t\,(T_f - T_{t,i}) + m_w\,c_w\,(T_f - T_{w,i}) = 0.
Isolando T_{w,i}:
m_w\,c_w\,(T_f - T_{w,i}) = -C_t\,(T_f - T_{t,i})
T_f - T_{w,i} = -\frac{C_t\,(T_f - T_{t,i})}{m_w\,c_w}
T_{w,i} = T_f + \frac{C_t\,(T_f - T_{t,i})}{m_w\,c_w}.
Essa fórmula faz sentido fisicamente: se o termômetro aqueceu ( T_f>T_{t,i}), a água teve de esfriar um pouco, então T_{w,i} é um pouco maior que T_f.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente, com todas as contas detalhadas para que dê para reproduzir na prova sem calculadora complicada.
Dados a substituir:
C_t = 46{,}1\\ \mathrm{J/K},\quad T_f = 44{,}4^\circ\mathrm{C},\quad T_{t,i}=15{,}0^\circ\mathrm{C},
m_w = 0{,}300\\ \mathrm{kg},\quad c_w = 4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Primeiro calcule a variação de temperatura do termômetro:
T_f - T_{t,i} = 44{,}4 - 15{,}0 = 29{,}4\\ \mathrm{K}.
Calor ganho pelo termômetro:
C_t\,(T_f - T_{t,i}) = 46{,}1 \times 29{,}4.
Fazendo a multiplicação:
46{,}1 \times 29{,}4 = 46{,}1\times(30 - 0{,}6)=46{,}1\times30 - 46{,}1\times0{,}6
=1383{,}0 - 27{,}66 = 1355{,}34\\ \mathrm{J}.
Capacidade térmica efetiva da água (massa vezes calor específico):
m_w\,c_w = 0{,}300 \times 4184 = 1255{,}2\\ \mathrm{J/K}.
Agora a fração que aparece na expressão para T_{w,i}:
\frac{C_t\,(T_f - T_{t,i})}{m_w\,c_w} = \frac{1355{,}34}{1255{,}2}\approx 1{,}0799\\ \mathrm{K}.
Finalmente,
T_{w,i} = T_f + 1{,}0799 = 44{,}4 + 1{,}0799 = 45{,}4799^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma consistente com os dados (duas casas decimais já é suficiente), obtemos T_{w,i}\approx 45{,}48^\circ\mathrm{C}.

Resposta

45{,}48^\circ\mathrm{C}

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