(a) Um objeto circular está crescendo em tamanho de alguma maneira não especificada, mas sabe-se que quando o raio é 6, a taxa de variação do raio é 4. Encontre a taxa de variação da área quando o raio é 6. (Note que se
e
representam o raio e a área no instante
, então as funções
e
satisfazem
. Agora, basta usar a Regra da Cadeia.)
(b) Suponha que agora sejamos informados de que o objeto circular que estamos observando é, na verdade, a seção transversal de uma esfera. Encontre a taxa de variação do volume da esfera quando o raio é 6. (Você claramente precisará conhecer uma fórmula para o volume de uma esfera caso a tenha esquecido; o volume é
vezes o cubo do raio.)
(c) Suponha agora que a taxa de variação da área da seção transversal circular é 5 quando o raio é 3. Encontre a taxa de variação do volume da esfera quando o raio é 3. Você deve ser capaz de resolver este problema de duas maneiras: primeiro, usando as fórmulas para a área e o volume em termos do raio; e depois, expressando o volume em termos da área.
(b) Suponha que agora sejamos informados de que o objeto circular que estamos observando é, na verdade, a seção transversal de uma esfera. Encontre a taxa de variação do volume da esfera quando o raio é 6. (Você claramente precisará conhecer uma fórmula para o volume de uma esfera caso a tenha esquecido; o volume é
(c) Suponha agora que a taxa de variação da área da seção transversal circular é 5 quando o raio é 3. Encontre a taxa de variação do volume da esfera quando o raio é 3. Você deve ser capaz de resolver este problema de duas maneiras: primeiro, usando as fórmulas para a área e o volume em termos do raio; e depois, expressando o volume em termos da área.
Passo 1
O enunciado trata de taxas relacionadas em um círculo (e depois em uma esfera). Seja
o raio em função do tempo,
a área da seção transversal circular e
o volume da esfera. As fórmulas conhecidas são
Para cada item usaremos a Regra da Cadeia: se
ou
dependem de
e este de
, então
Passo 2
(a) Diferenciando
em relação a
temos
Logo,
Como no instante considerado
e
, substituímos para obter
Passo 3
(b) Diferenciando
em relação a
dá
Pela Regra da Cadeia,
Com
e
, vem
Passo 4
(c) Agora sabemos que
no instante em que
.
Método 1 (via ): de
Método 1 (via
isolamos
Em seguida
Passo 5
Método 2 (expressando
em função de
): como
,
Diferenciando em relação a
:
No instante dado
, logo
, e
Assim
coincidindo com o método anterior.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)