(a) Um objeto circular está crescendo em tamanho de alguma maneira não especificada, mas sabe-se que quando o raio é 6, a taxa de variação do raio é 4. Encontre a taxa de variação da área quando o raio é 6. (Note que se r(t) e A(t) representam o raio e a área no instante t, então as funções r e A satisfazem A=pi r^2. Agora, basta usar a Regra da Cadeia.)
(b) Suponha que agora sejamos informados de que o objeto circular que estamos observando é, na verdade, a seção transversal de uma esfera. Encontre a taxa de variação do volume da esfera quando o raio é 6. (Você claramente precisará conhecer uma fórmula para o volume de uma esfera caso a tenha esquecido; o volume é 43 pi vezes o cubo do raio.)
(c) Suponha agora que a taxa de variação da área da seção transversal circular é 5 quando o raio é 3. Encontre a taxa de variação do volume da esfera quando o raio é 3. Você deve ser capaz de resolver este problema de duas maneiras: primeiro, usando as fórmulas para a área e o volume em termos do raio; e depois, expressando o volume em termos da área.

Passo 1

O enunciado trata de taxas relacionadas em um círculo (e depois em uma esfera). Seja r(t) o raio em função do tempo, A(t) a área da seção transversal circular e V(t) o volume da esfera. As fórmulas conhecidas são
A = pi r^2,
V = 43,pi r^3
Para cada item usaremos a Regra da Cadeia: se A ou V dependem de r e este de t, então
dAdt = dAdr,drdt, dVdt = dVdr,drdt

Passo 2

(a) Diferenciando ;A=pi r^2 em relação a r temos
dAdr = 2pi r
Logo,
dAdt = l(2pi rr),drdt
Como no instante considerado r=6 e tfracdrdt=4, substituímos para obter
dAdt = 2pi,(6),(4) = 48pi

Passo 3

(b) Diferenciando ;V=tfrac43pi r^3 em relação a r
dVdr = 4pi r^2
Pela Regra da Cadeia,
dVdt = l(4pi r^2r),drdt
Com r=6 e tfracdrdt=4, vem
dVdt = 4pi,(6)^2,(4) = 4picdot 36cdot 4 = 576pi

Passo 4

(c) Agora sabemos que tfracdAdt=5 no instante em que r=3.
Método 1 (via tfracdrdt): de
dAdt = 2pi r,drdt
isolamos
drdt = tfracdAdt2pi r = 52picdot 3 = 56pi
Em seguida
dVdt = 4pi r^2,drdt = 4picdot 9cdot 56pi = 36picdot 56pi = 30

Passo 5

Método 2 (expressando V em função de A): como r = raizA/pi,
V = 43pil(raizA/pir)^3 = 43pi,A^3/2pi^3/2 = 43,pi^-1/2,A^3/2
Diferenciando em relação a A:
dVdA = 43,pi^-1/2,32,A^1/2 = 2,pi^-1/2,raizA = 2,raizApi
No instante dado A=picdot3^2=9pi, logo raizA/pi=3, e
dVdA = 2cdot 3 = 6
Assim
dVdt = dVdA,dAdt = 6cdot 5 = 30,
coincidindo com o método anterior.

Resposta

(a) dAdt=48pi.
(b) dVdt=576pi.
(c) dVdt=30.

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