Seja f(x)= sen x. Calcule f^(21)(x).

Passo 1

O enunciado define f(x)=sin x e pede a derivada de ordem 21. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas sucessivas de funções trigonométricas, que exibem um padrão periódico de período 4.

Passo 2

As primeiras quatro derivadas de f são
f'(x)=cos x,
f''(x)=-sin x,
f'''(x)=-cos x e
f^(4)(x)=sin x.

Passo 3

Como f^(4)(x)=sin x=f(x), conclui-se que
f^(n+4)(x)=f^(n)(x)
para todo inteiro n. Em outras palavras, as derivadas repetem-se a cada 4 ordens.

Passo 4

Para n=21 temos
21 = 4cdot5 + 1,
ou seja, f^(21)(x)=f^(1)(x)=cos x.

Resposta

f^(21)(x)=cos x

Exercícios relacionados