Seja g(x)=f(x, x^3+2), onde f(x, y) é uma função diferenciável em R^2. Expresse g^prime(x) em termos das derivadas parciais de f.
39. Seja z=f(u^2+v^2, u v), onde f(x, y) é uma função diferenciável. Expresse partial zpartial u e partial zpartial v em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado tem dois itens que usam a regra da cadeia em várias variáveis:
  1. g(x)=fl(x,;x^3+2r). Pede g'(x).
  2. z=fl(u^2+v^2,;u,vr). Pede partial zpartial u e partial zpartial v.
    Como f(x,y) é diferenciável, vamos aplicar a regra da cadeia usando as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 2

Para g(x)=fl(phi(x),psi(x)r) com phi(x)=x e psi(x)=x^3+2, a regra da cadeia diz
g'(x) =partial fpartial xl(phi(x),psi(x)r),phi'(x) +partial fpartial yl(phi(x),psi(x)r),psi'(x)
Aqui phi'(x)=1 e psi'(x)=3x^2, logo
g'(x) =partial fpartial xl(x,x^3+2r) +3x^2,partial fpartial yl(x,x^3+2r)

Passo 3

Para z=fl(x(u,v),y(u,v)r) com
x(u,v)=u^2+v^2, y(u,v)=u,v,
temos pela regra da cadeia para derivada parcial em relação a u:
partial zpartial u =partial fpartial xl(x,yr),partial xpartial u +partial fpartial yl(x,yr),partial ypartial u
Como partial xpartial u=2u e partial ypartial u=v,
partial zpartial u =2u,partial fpartial xl(u^2+v^2,,u,vr) +v,partial fpartial yl(u^2+v^2,,u,vr)

Passo 4

Analogamente, para derivada parcial em relação a v:
partial zpartial v =partial fpartial xl(x,yr),partial xpartial v +partial fpartial yl(x,yr),partial ypartial v
Como partial xpartial v=2v e partial ypartial v=u,
partial zpartial v =2v,partial fpartial xl(u^2+v^2,,u,vr) +u,partial fpartial yl(u^2+v^2,,u,vr)

Resposta

(a)
g'(x) =partial fpartial xl(x,x^3+2r) +3x^2,partial fpartial yl(x,x^3+2r)
(b)
partial zpartial u =2u,partial fpartial xl(u^2+v^2,,u,vr) +v,partial fpartial yl(u^2+v^2,,u,vr),
partial zpartial v =2v,partial fpartial xl(u^2+v^2,,u,vr) +u,partial fpartial yl(u^2+v^2,,u,vr)

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