Um objeto de 3 cm de altura foi colocado diante de um espelho esférico convexo de raio de curvatura igual a 60 cm . Sendo o objeto perpendicular ao eixo principal e a sua abscissa igual a 15 cm , pergunta-se: a) Qual á a abscissa e a altura da imagem? b) A imagem é real ou virtual? Direita ou invertida?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Dados:
- altura do objeto
, - raio de curvatura do espelho
, - abscissa (distância do objeto ao vértice do espelho ao longo do eixo principal)
, - o espelho é esférico convexo.
- altura do objeto
- Perguntas:
- (a) Qual a abscissa da imagem e qual a altura da imagem?
- (b) A imagem é real ou virtual? A imagem é direita (erecta) ou invertida?
Passo 2
Vamos definir claramente as quantidades que vamos usar (sem resolver ainda):
-
é a distância do objeto ao vértice do espelho (abscissa do objeto). No enunciado . -
é a distância da imagem ao vértice do espelho (abscissa da imagem). É o que queremos achar. -
é o raio de curvatura do espelho; aqui . -
é a distância focal do espelho. Para espelhos esféricos vale a relação entre e que vamos usar agora. - Convenção de sinais que usamos (padrão cartesiano para espelhos):
-
quando o objeto está em frente ao espelho (caso usual; aqui ). -
para espelho côncavo e para espelho convexo (porque o foco de um convexo é virtual, atrás do espelho). -
se a imagem for real (formada no mesmo lado do objeto, frente ao espelho) e se a imagem for virtual (formada atrás do espelho). - A ampliação
é dada por . Se a imagem é direita (erecta), se é invertida.
-
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Relação entre raio e distância focal:
Aqui
é o raio de curvatura e
é a distância focal. Como o espelho é convexo, pelo sinal explicado antes, tomamos
negativo depois de calcular o módulo.
- Equação dos espelhos (equação de Gauss para espelhos esféricos):
onde
é distância do objeto,
é distância da imagem e
a distância focal.
- Ampliação linear (relação entre alturas):
onde
é a altura do objeto e
é a altura da imagem.
Passo 4
Calculando a distância focal
. Primeiro o valor absoluto usando
:
Como o espelho é convexo, o foco é virtual atrás do espelho; pela convenção de sinais temos
Passo 5
Agora usamos a equação dos espelhos para encontrar
. A equação é
Isolando
obtemos
Substituindo os números (tudo em cm):
Calcule passo a passo as frações:
Logo
Portanto
Passo 6
Interpretação do sinal de
: como
(valor negativo), a imagem é virtual e está localizada a
atrás do espelho (isto é, do lado oposto ao objeto). Isso responde parte da pergunta (b) sobre real/virtual.
Passo 7
Agora calculamos a ampliação
e a altura da imagem
. Usamos
Substituindo
e
:
Como
, a imagem é direita (erecta). Agora a altura:
Conclusões: a imagem tem
de altura (menor que o objeto, ou seja, reduzida) e é direita.
Passo 8
Resumo físico e cheguei numa conclusão amigável: espelho convexo sempre produz imagem virtual, direita e reduzida para objetos reais posicionados em frente ao espelho. Aqui os números deram exatamente isso: imagem virtual a
atrás do espelho, com altura
.
Resposta
(a) Abscissa da imagem:
; Altura da imagem:
(b) A imagem é virtual e direita (erecta).
(b) A imagem é virtual e direita (erecta).