Um objeto de 3 cm de altura foi colocado diante de um espelho esférico convexo de raio de curvatura igual a 60 cm . Sendo o objeto perpendicular ao eixo principal e a sua abscissa igual a 15 cm , pergunta-se: a) Qual á a abscissa e a altura da imagem? b) A imagem é real ou virtual? Direita ou invertida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados:
    • altura do objeto h_o = 3\\ \text{cm},
    • raio de curvatura do espelho R = 60\\ \text{cm},
    • abscissa (distância do objeto ao vértice do espelho ao longo do eixo principal) p = 15\\ \text{cm},
    • o espelho é esférico convexo.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a abscissa da imagem e qual a altura da imagem?
    • (b) A imagem é real ou virtual? A imagem é direita (erecta) ou invertida?

Passo 2

Vamos definir claramente as quantidades que vamos usar (sem resolver ainda):
  • p é a distância do objeto ao vértice do espelho (abscissa do objeto). No enunciado p=15\\ \text{cm}.
  • q é a distância da imagem ao vértice do espelho (abscissa da imagem). É o que queremos achar.
  • R é o raio de curvatura do espelho; aqui R=60\\ \text{cm}.
  • f é a distância focal do espelho. Para espelhos esféricos vale a relação entre f e R que vamos usar agora.
  • Convenção de sinais que usamos (padrão cartesiano para espelhos):
    • p>0 quando o objeto está em frente ao espelho (caso usual; aqui p>0).
    • f>0 para espelho côncavo e f<0 para espelho convexo (porque o foco de um convexo é virtual, atrás do espelho).
    • q>0 se a imagem for real (formada no mesmo lado do objeto, frente ao espelho) e q<0 se a imagem for virtual (formada atrás do espelho).
    • A ampliação m é dada por m = -\dfrac{q}{p}. Se m>0 a imagem é direita (erecta), se m<0 é invertida.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Relação entre raio e distância focal:
f = \dfrac{R}{2}.
Aqui R é o raio de curvatura e f é a distância focal. Como o espelho é convexo, pelo sinal explicado antes, tomamos f negativo depois de calcular o módulo.
  • Equação dos espelhos (equação de Gauss para espelhos esféricos):
\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q},
onde p é distância do objeto, q é distância da imagem e f a distância focal.
  • Ampliação linear (relação entre alturas):
m = -\dfrac{q}{p},\qquad h_i = m\,h_o,
onde h_o é a altura do objeto e h_i é a altura da imagem.

Passo 4

Calculando a distância focal f. Primeiro o valor absoluto usando f = \dfrac{R}{2}:
f = \dfrac{R}{2} = \dfrac{60}{2} = 30\\ \text{cm}.
Como o espelho é convexo, o foco é virtual atrás do espelho; pela convenção de sinais temos
f = -30\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora usamos a equação dos espelhos para encontrar q. A equação é
\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}.
Isolando 1/q obtemos
\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p}.
Substituindo os números (tudo em cm):
\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{-30} - \dfrac{1}{15}.
Calcule passo a passo as frações:
\dfrac{1}{15} = \dfrac{2}{30}, \qquad \dfrac{1}{-30} = -\dfrac{1}{30}.
Logo
\dfrac{1}{q} = -\dfrac{1}{30} - \dfrac{2}{30} = -\dfrac{3}{30} = -\dfrac{1}{10}.
Portanto
q = -10\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação do sinal de q: como q = -10\\ \text{cm} (valor negativo), a imagem é virtual e está localizada a 10\\ \text{cm} atrás do espelho (isto é, do lado oposto ao objeto). Isso responde parte da pergunta (b) sobre real/virtual.

Passo 7

Agora calculamos a ampliação m e a altura da imagem h_i. Usamos
m = -\dfrac{q}{p}.
Substituindo q=-10\\ \text{cm} e p=15\\ \text{cm}:
m = -\dfrac{-10}{15} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}.
Como m>0, a imagem é direita (erecta). Agora a altura:
h_i = m\,h_o = \dfrac{2}{3}\cdot 3\\ \text{cm} = 2\\ \text{cm}.
Conclusões: a imagem tem 2\\ \text{cm} de altura (menor que o objeto, ou seja, reduzida) e é direita.

Passo 8

Resumo físico e cheguei numa conclusão amigável: espelho convexo sempre produz imagem virtual, direita e reduzida para objetos reais posicionados em frente ao espelho. Aqui os números deram exatamente isso: imagem virtual a 10\\ \text{cm} atrás do espelho, com altura 2\\ \text{cm}.

Resposta

(a) Abscissa da imagem: -10\\ \text{cm}; Altura da imagem: 2\\ \text{cm}
(b) A imagem é virtual e direita (erecta).

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