Questão 04. (1,5) Um objeto está localizado a 10 cm de um dioptro plano (superfície de separação entre dois meios) entre o ar (índice de refração =1,0 ) e a água (índice de refração =4 / 3 ). Determine:
b) A posição aparente do objeto quando observado do ar.

Passo 1

O enunciado dá que um objeto está a 10\\ \text{cm} de um dioptro plano que separa ar e água. Os índices de refração são: ar =1{,}0 e água =4/3. A pergunta (b) é: qual a posição aparente do objeto quando observado do ar?
Informações relevantes listadas:
  • distância real do objeto ao dioptro: p=10\\ \text{cm} (presumimos que o objeto está na água, abaixo do dioptro);
  • índice do meio onde está o observador (ar): n_{ar}=1{,}0;
  • índice do meio onde está o objeto (água): n_{água}=\dfrac{4}{3}á;
  • queremos a posição aparente p' medida a partir do dioptro, vista do ar.

Passo 2

Vamos explicar o princípio físico que usamos: quando um raio de luz parte do objeto (na água), atinge a superfície plana e refrata para o ar. O observador no ar segue o raio refratado para trás (traça-o como se viesse de uma imagem virtual). Geometricamente, para um raio que atinge a superfície a uma distância lateral x do eixo, valem as relações (veja boa parte das demonstrações de dioptro plano):
\tan\theta_{água}=\frac{x}{p}, \qquad \tan\theta_{ar}=\frac{x}{p'},á
onde \theta_{água}á é o ângulo do raio no interior da água medido em relação à normal, e \theta_{ar} é o ângulo no ar.

Passo 3

Aplicamos a lei de Snell para a refração na superfície plana:
n_{água}\,\sin\theta_{água}=n_{ar}\,\sin\theta_{ar}.áá
Aqui explico cada símbolo: n_{água}á é o índice da água, n_{ar} é o índice do ar, e \theta_{água}á e \theta_{ar} são os ângulos que os raios fazem com a normal, respectivamente na água e no ar.

Passo 4

Para observadores que estão perto do eixo (condição para a imagem aparente que normalmente se usa em exercícios escolares), usamos a aproximação para-axial (pequenos ângulos): \sin\theta\approx\tan\theta. Isso simplifica a manipulação trigonométrica e é válido quando os ângulos são pequenos (observador relativamente distante ou olhando quase perpendicularmente). Com essa aproximação:
n_{água}\,\tan\theta_{água}=n_{ar}\,\tan\theta_{ar}.áá
Substituindo as relações geométricas do Passo 2:
n_{água}\,\frac{x}{p}=n_{ar}\,\frac{x}{p'}.á

Passo 5

Cortando x (assumindo x\neq0) obtemos a relação entre as distâncias:
\frac{p'}{p}=\frac{n_{ar}}{n_{água}}.á
Essa é a fórmula prática: a profundidade aparente p' (vista do ar) é a profundidade real p multiplicada por n_{ar}/n_{água}á. Observação física: como n_{ar}<n_{água}á, a imagem aparece mais próxima da superfície do que o objeto real (parece “raso”).

Passo 6

Agora plugamos os números:
p'=p\cdot\frac{n_{ar}}{n_{água}}=10\\ \text{cm}\cdot\frac{1{,}0}{4/3}.á
Calculemos a fração:
\frac{1{,}0}{4/3}=\frac{1{,}0\cdot 3}{4}= \frac{3}{4}=0{,}75.
Portanto
p'=10\\ \text{cm}\times 0{,}75=7{,}5\\ \text{cm}.

Passo 7

Interpretação final: a imagem formada é virtual (não se pode projetar numa tela no ar), está localizada abaixo do dioptro, mais próxima da superfície que o objeto real. Em termos práticos: o objeto a 10\\ \text{cm} dentro da água parece estar a 7{,}5\\ \text{cm} abaixo da superfície quando visto do ar.

Resposta

7{,}5\\ \text{cm}

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