Um objeto cujo vetor posição é dado por
se move ao longo da parábola
. Sabe-se que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante
é igual
e que no instante
o objeto se encontra no ponto
com vetor velocidade
. Pede-se
a) Encontre a expressão da componente horizontal da curva;
a) Encontre a expressão da componente horizontal da curva;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um objeto que se move ao longo da parábola $ y = x^{2} - 4 $. Sabemos que a componente horizontal da aceleração, que a gente pode chamar de $ a_x(t) $, é igual a $ a - 4 $. No instante inicial $ t = 0 $, o objeto está no ponto $ \alpha(0) = (0, -4) $ e a velocidade é $ v(0) = (4, 0) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão da componente horizontal da posição, ou seja, $ x(t) $.
Passo 2
Pra encontrar $ x(t) $, vamos precisar da relação entre aceleração, velocidade e posição. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição. Então, temos:
E a velocidade é:
Passo 3
A questão nos diz que $ a_x(t) = a - 4 $. Vamos integrar essa expressão para encontrar a velocidade $ v_x(t) $.
Integrando a aceleração:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Sabemos que no instante $ t = 0 $, a velocidade $ v_x(0) = 4 $. Vamos usar isso pra achar a constante $ C $:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição $ x(t) $:
Onde $ D $ é outra constante de integração.
Passo 6
Sabemos que no instante $ t = 0 $, a posição $ x(0) = 0 $. Vamos usar isso pra achar $ D $:
Então, a expressão final da posição é:
Resposta
A componente horizontal da posição é $ x(t) = \frac{(a - 4)}{2} t^{2} + 4t $.