Um objeto cujo vetor posição é dado por alpha(t)=(x(t), y(t)) se move ao longo da parábola y=x^2-4. Sabe-se que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante t é igual a-4 e que no instante t=0 o objeto se encontra no ponto alpha(0)=(0,-4) com vetor velocidade a(0)=(4,0). Pede-se
a) Encontre a expressão da componente horizontal da curva;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um objeto que se move ao longo da parábola $ y = x^{2} - 4 $. Sabemos que a componente horizontal da aceleração, que a gente pode chamar de $ a_x(t) $, é igual a $ a - 4 $. No instante inicial $ t = 0 $, o objeto está no ponto $ \alpha(0) = (0, -4) $ e a velocidade é $ v(0) = (4, 0) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão da componente horizontal da posição, ou seja, $ x(t) $.

Passo 2

Pra encontrar $ x(t) $, vamos precisar da relação entre aceleração, velocidade e posição. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição. Então, temos:
x(t)
E a velocidade é:
ax(t) = dvxdt

Passo 3

A questão nos diz que $ a_x(t) = a - 4 $. Vamos integrar essa expressão para encontrar a velocidade $ v_x(t) $.
Integrando a aceleração:
ax(t) = a - 4
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Sabemos que no instante $ t = 0 $, a velocidade $ v_x(0) = 4 $. Vamos usar isso pra achar a constante $ C $:
t = 0
Então, a expressão da velocidade fica:
vx(0) = 4

Passo 5

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição $ x(t) $:
x(t)
Onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 6

Sabemos que no instante $ t = 0 $, a posição $ x(0) = 0 $. Vamos usar isso pra achar $ D $:
t = 0
Então, a expressão final da posição é:
x(0) = 0

Resposta

A componente horizontal da posição é $ x(t) = \frac{(a - 4)}{2} t^{2} + 4t $.

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