Calcular a derivada de: f(x)=(3 x^2+raiz[3]x^4)^3 cdot(2 x^3+x^2-2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)= (3x^2+raiz[3]x^4)^3· (2x^3+x^2−2x). O conteúdo envolvido é regra do produto e regra da cadeia, além de derivadas de potências e de radicais. Vamos precisar transformar raiz[3]x^4 em potência, identificar funções intermediárias e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares: u(x)=3x^2+x^4/3 e v(x)=2x^3+x^2−2x. Assim, reescrevemos
f(x)=u(x)^3,v(x)

Passo 3

Para calcular u'(x), usamos derivada de potência em cada termo:
Derivada de 3x^2 é 6x e de x^4/3 é tfrac43x^1/3. Logo,
u'(x)=6x+43x^1/3

Passo 4

Para calcular v'(x), derivamos termo a termo:
Derivada de 2x^3 é 6x^2, de x^2 é 2x e de −2x é −2. Assim,
v'(x)=6x^2+2x−2

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, pela regra da cadeia:
ddx[u(x)^3]=3u(x)^2,u'(x)
Em seguida, pela regra do produto:
f'(x)=ddx[u(x)^3],v(x)+u(x)^3,v'(x)=3u(x)^2u'(x)v(x)+u(x)^3v'(x)

Passo 6

Por fim, substituímos as expressões de u(x), u'(x), v(x) e v'(x) na fórmula de f'(x).

Resposta

[\n f’(x)=3(3x2+x{4/3})2\left(6x+\frac{4}{3}x{1/3}\right)(2x3+x2-2x)+(3x2+x{4/3})3(6x2+2x-2)\n]

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