Um objeto desloca-se em um plano, de modo que no instante t=1 s encontrava-se na posição (x ; y)=(0 ; 2) m, no instante t=3 s encontrava-se na posição (x ; y)=(3 ; 0) m e no instante t=4 s, na posição (x ; y)=(4 ;-1) m. Quais as equações de movimento do objeto nas direções X e Y?

Passo 1

Beleza, então o que a questão diz é: a gente tem um objeto que em t=1 s está em (x,y)=(0,2) m, em t=3 s está em (3,0) m e em t=4 s em (4,−1) m. Preciso achar as equações do movimento nas direções X e Y. Isso é cinemática no plano com aceleração constante (ou seja, posição é uma função quadrática do tempo). Vamos usar a fórmula geral
s(t)=s0+v0,t+tfrac12,a,t^2
mas mais direto: supor
x(t)=A,t^2+B,t+C, y(t)=D,t^2+E,t+F
e achar os coeficientes A,B,C e D,E,F usando os três pontos dados.

Passo 2

Equação em X:
x(t)=A,t^2+B,t+C
Como em t=1, x=0; em t=3, x=3; em t=4, x=4, temos o sistema

  1. Que vira
    (1) A + B + C = 0
    (2) 9A + 3B + C = 3
    (3) 16A + 4B + C = 4

Passo 3

Vamos resolver o sistema de X.
Subtraindo (1) de (2):
(9A+3B+C) - (A+B+C) = 3 - 0 ;Longrightarrow;8A+2B=3 ;Longrightarrow;4A+B=1,5
Subtraindo (2) de (3):
(16A+4B+C) - (9A+3B+C) = 4 - 3 ;Longrightarrow;7A+B=1
Agora o sistema é
a) 4A + B = 1{,}5
b) 7A + B = 1
Subtraindo b) de a):
(4A+B)-(7A+B)=1,5-1 ;Longrightarrow;-3A=0,5 ;Longrightarrow;A=-tfrac16
Logo B = 1 - 7A = 1 -7(−1/6)=1+7/6=13/6.
E C vem de A+B+C=0:
-tfrac16 + tfrac136 + C = 0 ;Longrightarrow; C = -2
Então
x(t) = -tfrac16t^2 + tfrac136t - 2

Passo 4

Equação em Y:
y(t)=D,t^2+E,t+F
Nos pontos (1,2), (3,0), (4,−1):
(1) D + E + F = 2
(2) 9D + 3E + F = 0
(3) 16D + 4E + F = -1
Subtraindo (1) de (2): 8D+2E = -2 ⇒ 4D+E = -1
Subtraindo (2) de (3): 7D+E = -1
Agora
a) 4D + E = -1
b) 7D + E = -1
Subtraindo: (4D–7D)=0 ⇒ D=0.
Então E = -1 -4·0 = -1.
E F da eq. (1): 0 + (−1) + F = 2 ⇒ F=3.
Logo
y(t) = -,t + 3

Resposta

x(t) =
y(t) =

Exercícios relacionados