Um objeto desloca-se em um plano, de modo que no instante
encontrava-se na posição
, no instante
encontrava-se na posição
no instante
, na posição
. Quais as equações de movimento do objeto nas direções X e Y?
Passo 1
Beleza, então o que a questão diz é: a gente tem um objeto que em t=1 s está em (x,y)=(0,2) m, em t=3 s está em (3,0) m e em t=4 s em (4,−1) m. Preciso achar as equações do movimento nas direções X e Y. Isso é cinemática no plano com aceleração constante (ou seja, posição é uma função quadrática do tempo). Vamos usar a fórmula geral
mas mais direto: supor
e achar os coeficientes A,B,C e D,E,F usando os três pontos dados.
Passo 2
Equação em X:
Como em t=1, x=0; em t=3, x=3; em t=4, x=4, temos o sistema
-
-
-
Que vira
(1) A + B + C = 0
(2) 9A + 3B + C = 3
(3) 16A + 4B + C = 4
Passo 3
Vamos resolver o sistema de X.
Subtraindo (1) de (2):
Subtraindo (1) de (2):
Subtraindo (2) de (3):
Agora o sistema é
a) 4A + B = 1{,}5
b) 7A + B = 1
Subtraindo b) de a):
a) 4A + B = 1{,}5
b) 7A + B = 1
Subtraindo b) de a):
Logo B = 1 - 7A = 1 -7(−1/6)=1+7/6=13/6.
E C vem de A+B+C=0:
E C vem de A+B+C=0:
Então
Passo 4
Equação em Y:
Nos pontos (1,2), (3,0), (4,−1):
(1) D + E + F = 2
(2) 9D + 3E + F = 0
(3) 16D + 4E + F = -1
Subtraindo (1) de (2): 8D+2E = -2 ⇒ 4D+E = -1
Subtraindo (2) de (3): 7D+E = -1
Agora
a) 4D + E = -1
b) 7D + E = -1
Subtraindo: (4D–7D)=0 ⇒ D=0.
Então E = -1 -4·0 = -1.
E F da eq. (1): 0 + (−1) + F = 2 ⇒ F=3.
Logo
(1) D + E + F = 2
(2) 9D + 3E + F = 0
(3) 16D + 4E + F = -1
Subtraindo (1) de (2): 8D+2E = -2 ⇒ 4D+E = -1
Subtraindo (2) de (3): 7D+E = -1
Agora
a) 4D + E = -1
b) 7D + E = -1
Subtraindo: (4D–7D)=0 ⇒ D=0.
Então E = -1 -4·0 = -1.
E F da eq. (1): 0 + (−1) + F = 2 ⇒ F=3.
Logo
Resposta
x(t) =
y(t) =
y(t) =