Um objeto desloca-se em um plano, de modo que no instante
encontrava-se na posição
, no instante
encontrava-se na posição
no instante
, na posição
. Qual o formato de sua trajetória no plano XY?
Passo 1
O enunciado diz que um objeto está nos pontos
-
s em , -
s em , -
s em .
Queremos descobrir o formato da trajetória no plano
.
Conteúdo: geometria analítica / função do 2º grau.
O que vamos usar: toda parábola é descrita por
Conteúdo: geometria analítica / função do 2º grau.
O que vamos usar: toda parábola é descrita por
e três pontos não-colineares determinam um único tripé
.
Passo 2
A teoria básica:
- Uma curva do tipo
é uma parábola se . - Basta colocar cada ponto na equação e montar um sistema para achar
. - Depois, como
, concluímos que é parábola.
Passo 3
Vamos usar os três pontos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Substituindo
nas duas últimas equações:
Vamos simplificar cada uma:
- Dividindo a primeira por 3:
. - Dividindo a segunda por 4:
.
Subtraindo:
Então, por exemplo em
:
Até aqui temos:
Passo 5
Logo a equação da trajetória é
Como o coeficiente de
(ou seja,
) é
, a curva é uma parábola.
Resposta
A trajetória no plano
é uma parábola, dada por