Um objeto desloca-se em um plano, de modo que no instante t=1 s encontrava-se na posição (x ; y)=(0 ; 2) m, no instante t=3 s encontrava-se na posição (x ; y)=(3 ; 0) m e no instante t=4 s, na posição (x ; y)=(4 ;-1) m. Qual o formato de sua trajetória no plano XY?

Passo 1

O enunciado diz que um objeto está nos pontos
  • y = a,x^2 + b,x + c s em ,
  • s em ,
  • s em .
Queremos descobrir o formato da trajetória no plano .
Conteúdo: geometria analítica / função do 2º grau.
O que vamos usar: toda parábola é descrita por
e três pontos não-colineares determinam um único tripé .

Passo 2

A teoria básica:
  • Uma curva do tipo é uma parábola se .
  • Basta colocar cada ponto na equação e montar um sistema para achar .
  • Depois, como , concluímos que é parábola.

Passo 3

Vamos usar os três pontos:
  1. Para y = acdot0^2 + bcdot0 + c = 2 Longrightarrow c = 2 : 0 = acdot3^2 + bcdot3 + c ;Longrightarrow; 9a + 3b + c = 0
  2. Para -1 = acdot4^2 + bcdot4 + c ;Longrightarrow;16a + 4b + c = -1 :
  3. Para :

Passo 4

Substituindo 9a+3b+2=0 16a+4b+2=-1 Longrightarrow 9a+3b=-2 16a+4b=-3 nas duas últimas equações:
(4a+b) - (3a+b) = -tfrac34 - l(-tfrac23r) ;Longrightarrow; a = -tfrac34 + tfrac23 = -tfrac112
Vamos simplificar cada uma:
  • Dividindo a primeira por 3: 3!l(-tfrac112r) + b = -tfrac23 ;Longrightarrow; -tfrac14 + b = -tfrac23 ;Longrightarrow; b = -tfrac23 + tfrac14 = -tfrac512 .
  • Dividindo a segunda por 4: a = -tfrac112, b = -tfrac512, c = 2 .
Subtraindo:
Então, por exemplo em :
Até aqui temos:

Passo 5

Logo a equação da trajetória é
boxed,y(x) = -tfrac112,x^2 ;-; tfrac512,x ;+; 2,
Como o coeficiente de (ou seja, ) é , a curva é uma parábola.

Resposta

A trajetória no plano y(x) = -tfrac112,x^2 ;-; tfrac512,x ;+; 2 é uma parábola, dada por

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