Um projétil foi atirado a partir do solo plano, atingiu uma altura máxima de 65 m e caiu no mesmo solo plano a 138 m de distância do ponto de lançamento. Determine a velocidade inicial e o ângulo de lançamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! A gente tem um projétil que foi lançado do chão, alcançou uma altura máxima de 65 metros e aterrissou a 138 metros de distância do ponto de lançamento. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade inicial com que ele foi lançado e o ângulo de lançamento. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de física sobre o movimento de projéteis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos usar. A altura máxima $ H $ que o projétil atinge é dada por:
E a distância horizontal total $ R $ (alcance) é:
Aqui, $ v_0 $ é a velocidade inicial, $ \theta $ é o ângulo de lançamento e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
Passo 3
Vamos usar a fórmula da altura máxima para isolar $ v_0^2 $:
Agora, vamos substituir essa expressão na fórmula do alcance $ R $:
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
Onde $ \cot \theta = \frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}} $.
Passo 5
Agora, vamos isolar o ângulo $ \theta $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o ângulo $ \theta $ encontrado, vamos voltar à fórmula da altura máxima para encontrar $ v_0 $:
Calculando os valores:
Resposta
A velocidade inicial do projétil foi de aproximadamente $ 40,2 , m/s $ e o ângulo de lançamento foi de cerca de $ 62,3^\circ $.