Um projétil foi atirado a partir do solo plano, atingiu uma altura máxima de 65 m e caiu no mesmo solo plano a 138 m de distância do ponto de lançamento. Determine a velocidade inicial e o ângulo de lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! A gente tem um projétil que foi lançado do chão, alcançou uma altura máxima de 65 metros e aterrissou a 138 metros de distância do ponto de lançamento. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade inicial com que ele foi lançado e o ângulo de lançamento. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de física sobre o movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos usar. A altura máxima $ H $ que o projétil atinge é dada por:
H
E a distância horizontal total $ R $ (alcance) é:
H = v0^2 sin^2 theta2g
Aqui, $ v_0 $ é a velocidade inicial, $ \theta $ é o ângulo de lançamento e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).

Passo 3

Vamos usar a fórmula da altura máxima para isolar $ v_0^2 $:
v0^2
Agora, vamos substituir essa expressão na fórmula do alcance $ R $:
H = v0^2 sin^2 theta2g Rightarrow v0^2 = 2gHsin^2 theta

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
R = 2H cdot 2 sin theta cos thetasin^2 theta = 4H cos thetasin theta = 4H cot theta
Onde $ \cot \theta = \frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}} $.

Passo 5

Agora, vamos isolar o ângulo $ \theta $:
theta
Substituindo os valores:
R = 4H cot theta Rightarrow cot theta = R4H Rightarrow theta = cot^-1 ( R4H )

Passo 6

Com o ângulo $ \theta $ encontrado, vamos voltar à fórmula da altura máxima para encontrar $ v_0 $:
theta
Calculando os valores:
v0
v0^2 = 2gHsin^2 theta Rightarrow v0 = raiz 2 times 9,8 times 65sin^2 62,3^circ

Resposta

A velocidade inicial do projétil foi de aproximadamente $ 40,2 , m/s $ e o ângulo de lançamento foi de cerca de $ 62,3^\circ $.

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