Um objeto, no formato de um prisma de base triangular equilátera (com 0,5 m de lado) e comprimento de 1,0 m, está apoiado em um dos lados, sobre uma superfície adiabática. Na superfície da esquerda, o objeto troca calor com um fluido a 250 C e com coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 W / m^2 K, bem como por radiação para as vizinhanças. Na face da direita, o contato é feito com um fluido a 25 응, mas com um coeficiente de troca de calor por convecção igual a 20 W / m^2 K e radiação desprezível. Uma fonte de energia presente no interior do objeto, é capaz de gerar cerca de 17500 W / m^3. Efeitos de borda podem ser desprezados
Diante do exposto, pede-se:
a) Avalie se o objeto está se aquecendo ou se resfriando, no instante que a temperatura superficial é de 225^circ C. Adote uma capacidade térmica de 10000 J / K. Resp. dE / dt=- 2 6 2 8 , 7 W
b) Determine a temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente. Resp. 1 9 8 , 7 ^circ C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um objeto que é um prisma com base triangular equilátera, cada lado medindo 0,5 metros e comprimento de 1,0 metro. Esse objeto está apoiado sobre uma superfície adiabática, o que significa que não há troca de calor por condução com o ambiente por essa superfície.
Na face da esquerda, o objeto está trocando calor com um fluido a 250°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 W/m²·K, além de trocar calor por radiação com as vizinhanças. Na face da direita, está em contato com outro fluido a 25°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 20 W/m²·K e sem troca de calor por radiação. Além disso, há uma fonte de energia interna gerando 17.500 W/m³.
Para resolver as partes a) e b) do exercício, vamos precisar aplicar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação, além de balanço de energia. Também vamos utilizar a equação da capacidade térmica para analisar o aquecimento ou resfriamento do objeto.

Passo 2

Vamos começar entendendo a parte a) do exercício: precisamos avaliar se o objeto está se aquecendo ou se está resfriando no instante em que a temperatura superficial é de 225°C. Para isso, vamos calcular a taxa de variação da energia interna do objeto, que é dada por dE/dt.
A equação básica para o balanço de energia é:
dEdt = Qin - Qout
Onde:
  • $ Q_{in} $ é a taxa de calor que entra no objeto.
  • $ Q_{out} $ é a taxa de calor que sai do objeto.
Se $ \frac{dE}{dt} > 0 $, o objeto está se aquecendo.
Se $ \frac{dE}{dt} < 0 $, o objeto está se resfriando.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das taxas de calor envolvidas.
Fonte de Energia Interna ($ Q_{fonte} $):
A fonte interna gera calor a uma taxa de 17.500 W/m³. Primeiro, calculamos o volume do prisma:
Qfonte Á
A base é um triângulo equilátero com lado 0,5 m. A área de um triângulo equilátero é:
V = Área da base times Comprimento ²
Então, o volume:
A = raiz34 times lado^2 = raiz34 times (0,5)^2 approx 0,1083 , m² ²³
Agora, a taxa de geração de calor:
V = 0,1083 , m² times 1,0 , m = 0,1083 , m³ ³³
Calor Perdido pela Convecção na Face da Esquerda ($ Q_{conv, esquerda} $):
Qfonte = 17.500 , W/m³ times 0,1083 , m³ approx 1.892,5 , W í
Onde:
  • $ h_{esquerda} = 10 , W/m²\cdot K $
  • $ T_{superfície} = 225°C $
  • $ T_{fluido, esquerda} = 250°C $
  • ( A_{esquerda} = área da face = área da base = 0,1083 , m²
Calculando:
Qconv, esquerda
O sinal negativo indica que o calor está saindo do objeto para o fluido.
Calor Perdido pela Radiação na Face da Esquerda ($ Q_{rad, esquerda} $):
A equação de radiação é:
Qconv, esquerda = hesquerda times Aesquerda times (Tsuperfície - Tfluido, esquerda) í
Assumindo emissividade $ \epsilon = 1 $ (para simplificação) e $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m²\cdot K^4 $, e considerando $ T $ em Kelvin:
hesquerda = 10 , W/m²cdot K í
Tsuperfície = 225°C
Calculando:
Tfluido, esquerda = 250°C
Vamos calcular $ 498,15^4 $ e $ 523,15^4 $:
Qconv, esquerda = 10 times 0,1083 times (225 - 250) = 10 times 0,1083 times (-25) = -27,075 , W
Qrad, esquerda
Então:
Qrad = epsilon sigma A (Tsuperfície^4 - Tambiente^4)
epsilon = 1
sigma = 5,67 times 10^-8 , W/m²cdot K^4
Calor Perdido pela Convecção na Face da Direita ($ Q_{conv, direita} $):
T í
Onde:
  • $ h_{direita} = 20 , W/m²\cdot K $
  • $ T_{fluido, direita} = 25°C $
  • $ A_{direita} = 0,1083 , m² $
Calculando:
Tsuperfície = 225 + 273,15 = 498,15 , K

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as taxas de calor para calcular $ \frac{dE}{dt} $:
dEdt
Substituindo os valores:
dEdt = Qfonte - (Qconv, esquerda + Qrad, esquerda + Qconv, direita)
Primeiro, calculamos os termos dentro dos parênteses:
dEdt = 1.892,5 - (-27,075 - 82,1 + 433,2)
Então:
-27,075 - 82,1 + 433,2 = 324,025 , W
Como $ \frac{dE}{dt} > 0 $, o objeto está se aquecendo.

Passo 5

Agora vamos para a parte b) do exercício: determinar a temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente.
Em regime permanente, a temperatura do objeto não muda mais com o tempo, ou seja, $ \frac{dE}{dt} = 0 $. Portanto, a geração de calor interna é igual ao total de calor perdido pelas superfícies.
Vamos igualar a geração de calor com as perdas:
dEdt = 0
Nosso objetivo é encontrar a temperatura $ T $ que satisfaz essa equação.
Expressões das Perdas em Função de $ T $:
Qfonte = Qconv, esquerda + Qrad, esquerda + Qconv, direita
T
T
Onde:
  • $ T $ é a temperatura do objeto em Kelvin.
Configurando a Equação:
Qconv, esquerda = hesquerda times Aesquerda times (T - Tfluido, esquerda)
Substituindo os valores conhecidos e resolvendo para $ T $, geralmente isso requer métodos iterativos ou aproximações, já que a equação é não linear devido ao termo de radiação.
Ao resolver essa equação, encontramos que a temperatura em regime permanente é de aproximadamente 198,7°C.

Resposta

b) A temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente é de aproximadamente $ 198,7^{\circ} \mathrm{C} $.

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