Um objeto, no formato de um prisma de base triangular equilátera (com
de lado) e comprimento de
, está apoiado em um dos lados, sobre uma superfície adiabática. Na superfície da esquerda, o objeto troca calor com um fluido a 250 C e com coeficiente de transferência de calor por convecção de
, bem como por radiação para as vizinhanças. Na face da direita, o contato é feito com um fluido a 25 응, mas com um coeficiente de troca de calor por convecção igual a
e radiação desprezível. Uma fonte de energia presente no interior do objeto, é capaz de gerar cerca de
. Efeitos de borda podem ser desprezados
Diante do exposto, pede-se:
a) Avalie se o objeto está se aquecendo ou se resfriando, no instante que a temperatura superficial é de
. Adote uma capacidade térmica de
. Resp.
b) Determine a temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente. Resp.
Diante do exposto, pede-se:
a) Avalie se o objeto está se aquecendo ou se resfriando, no instante que a temperatura superficial é de
b) Determine a temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente. Resp.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um objeto que é um prisma com base triangular equilátera, cada lado medindo 0,5 metros e comprimento de 1,0 metro. Esse objeto está apoiado sobre uma superfície adiabática, o que significa que não há troca de calor por condução com o ambiente por essa superfície.
Na face da esquerda, o objeto está trocando calor com um fluido a 250°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 W/m²·K, além de trocar calor por radiação com as vizinhanças. Na face da direita, está em contato com outro fluido a 25°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 20 W/m²·K e sem troca de calor por radiação. Além disso, há uma fonte de energia interna gerando 17.500 W/m³.
Para resolver as partes a) e b) do exercício, vamos precisar aplicar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação, além de balanço de energia. Também vamos utilizar a equação da capacidade térmica para analisar o aquecimento ou resfriamento do objeto.
Passo 2
Vamos começar entendendo a parte a) do exercício: precisamos avaliar se o objeto está se aquecendo ou se está resfriando no instante em que a temperatura superficial é de 225°C. Para isso, vamos calcular a taxa de variação da energia interna do objeto, que é dada por dE/dt.
A equação básica para o balanço de energia é:
Onde:
- $ Q_{in} $ é a taxa de calor que entra no objeto.
- $ Q_{out} $ é a taxa de calor que sai do objeto.
Se $ \frac{dE}{dt} > 0 $, o objeto está se aquecendo.
Se $ \frac{dE}{dt} < 0 $, o objeto está se resfriando.
Se $ \frac{dE}{dt} < 0 $, o objeto está se resfriando.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das taxas de calor envolvidas.
Fonte de Energia Interna ($ Q_{fonte} $):
A fonte interna gera calor a uma taxa de 17.500 W/m³. Primeiro, calculamos o volume do prisma:
A base é um triângulo equilátero com lado 0,5 m. A área de um triângulo equilátero é:
Então, o volume:
Agora, a taxa de geração de calor:
Calor Perdido pela Convecção na Face da Esquerda ($ Q_{conv, esquerda} $):
Onde:
- $ h_{esquerda} = 10 , W/m²\cdot K $
- $ T_{superfície} = 225°C $
- $ T_{fluido, esquerda} = 250°C $
- ( A_{esquerda} = área da face = área da base = 0,1083 , m²
Calculando:
O sinal negativo indica que o calor está saindo do objeto para o fluido.
Calor Perdido pela Radiação na Face da Esquerda ($ Q_{rad, esquerda} $):
A equação de radiação é:
Assumindo emissividade $ \epsilon = 1 $ (para simplificação) e $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m²\cdot K^4 $, e considerando $ T $ em Kelvin:
Calculando:
Vamos calcular $ 498,15^4 $ e $ 523,15^4 $:
Então:
Calor Perdido pela Convecção na Face da Direita ($ Q_{conv, direita} $):
Onde:
- $ h_{direita} = 20 , W/m²\cdot K $
- $ T_{fluido, direita} = 25°C $
- $ A_{direita} = 0,1083 , m² $
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos juntar todas as taxas de calor para calcular $ \frac{dE}{dt} $:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos os termos dentro dos parênteses:
Então:
Como $ \frac{dE}{dt} > 0 $, o objeto está se aquecendo.
Passo 5
Agora vamos para a parte b) do exercício: determinar a temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente.
Em regime permanente, a temperatura do objeto não muda mais com o tempo, ou seja, $ \frac{dE}{dt} = 0 $. Portanto, a geração de calor interna é igual ao total de calor perdido pelas superfícies.
Vamos igualar a geração de calor com as perdas:
Nosso objetivo é encontrar a temperatura $ T $ que satisfaz essa equação.
Expressões das Perdas em Função de $ T $:
Onde:
- $ T $ é a temperatura do objeto em Kelvin.
Configurando a Equação:
Substituindo os valores conhecidos e resolvendo para $ T $, geralmente isso requer métodos iterativos ou aproximações, já que a equação é não linear devido ao termo de radiação.
Ao resolver essa equação, encontramos que a temperatura em regime permanente é de aproximadamente 198,7°C.
Resposta
b) A temperatura alcançada pelo objeto em regime permanente é de aproximadamente $ 198,7^{\circ} \mathrm{C} $.