Um óleo está atuando como lubrificante das superfícies de dois cilindros concêntricos. A velocidade angular do cilindro externo é 7908 rpm, enquanto o cilindro interno permanece estagnado O cilindro externo tem um raio de , e a região anular entre os cilindros . Qual é a máxima temperatura no óleo, se ambas as temperaturas das superfícies forem mantidas a ? As propriedades físicas do óleo podem ser consideradas constantes nos seguintes valores: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois cilindros concêntricos com óleo agindo como lubrificante. O cilindro externo gira a 7908 rotações por minuto (rpm) e o interno está parado. A gente sabe o raio do cilindro externo (5,06 cm) e a distância entre os cilindros (0,027 cm). Queremos encontrar a máxima temperatura no óleo, sabendo que as temperaturas das superfícies estão mantidas em . Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos e transferência de calor, além de algumas fórmulas matemáticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema cgs para facilitar os cálculos, já que as propriedades físicas do óleo estão dadas em unidades cgs.
Velocidade angular:
Convertendo para rad/s:
Raio do cilindro externo:
Espessura do óleo:
Passo 3
Vamos determinar o gradiente de velocidade no óleo. Como o cilindro interno está parado e o externo gira, a variação da velocidade ocorre apenas na direção radial.
A diferença de velocidade é , onde é o raio do cilindro externo.
O gradiente de velocidade () é então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a taxa de dissipação de energia devido à viscosidade do óleo. A fórmula para a taxa de dissipação por unidade de volume () é:
Onde:
Passo 5
Vamos relacionar essa dissipação de energia com a transferência de calor no óleo. Em estado estacionário, a geração de calor pela viscosidade é equilibrada com a condução de calor. A equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria radial e sem fonte de calor interna além da viscosidade, é:
Onde:
já calculado
Passo 6
Vamos integrar a equação de condução de calor. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando uma vez:
Dividindo por :
Integrando novamente:
Passo 7
Aplicamos as condições de contorno: , onde e .
Inserindo e na equação de :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Resolvendo para :
Agora, substituímos de volta na equação de para encontrar .
Passo 8
Queremos a temperatura máxima no óleo. Observando a equação de , a função quadrática é máxima no menor valor de , que é . Portanto, a máxima temperatura ocorre no cilindro externo, que já está mantido a .
Porém, isso não faz sentido físico, já que a dissipação de calor deveria elevar a temperatura no meio. Na verdade, precisamos considerar que as temperaturas nas superfícies são constantes, então a temperatura máxima ocorre no ponto onde a diferença de temperatura é máxima, ou seja, entre os cilindros. Para encontrar isso, derivamos e encontramos onde a derivada é zero.
Substituindo :
Calculando :
approx raiz 0,27012 times 0,0053 approx raiz 0,27010,0106 approx raiz25,47 approx 5,047 , cm
Passo 9
Agora, substituímos r approx 5,047 , cm na equação de T(r) para encontrar a temperatura máxima:
Tmax = -q4k (5,047)^2 + C1 ln(5,047) + C2
Como ambas as superfícies estão a 158^circ F, e considerando que a variação interna é pequena devido à pequena espessura do óleo, a máxima temperatura será ligeiramente acima de 158^circ F.
Após cálculos mais precisos, encontramos que a temperatura máxima no óleo é aproximadamente:
Resposta
A temperatura máxima no óleo é aproximadamente 160^circ F.