Um óleo está atuando como lubrificante das superfícies de dois cilindros concêntricos. A velocidade angular do cilindro externo é 7908 rpm, enquanto o cilindro interno permanece estagnado O cilindro externo tem um raio de 5,06 cm, e a região anular entre os cilindros 0,027 cm. Qual é a máxima temperatura no óleo, se ambas as temperaturas das superfícies forem mantidas a 158^circ F ? As propriedades físicas do óleo podem ser consideradas constantes nos seguintes valores: mu=92,3 cp ; rho=1,22 g / cm^3 ; k=0,0055 cal / scm ^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois cilindros concêntricos com óleo agindo como lubrificante. O cilindro externo gira a 7908 rotações por minuto (rpm) e o interno está parado. A gente sabe o raio do cilindro externo (5,06 cm) e a distância entre os cilindros (0,027 cm). Queremos encontrar a máxima temperatura no óleo, sabendo que as temperaturas das superfícies estão mantidas em 158^circ F. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos e transferência de calor, além de algumas fórmulas matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema cgs para facilitar os cálculos, já que as propriedades físicas do óleo estão dadas em unidades cgs.
  • Velocidade angular: 7908 , rpm
    Convertendo para rad/s:
    omega = 7908 times 2pi60 approx 829 , rad/s
  • Raio do cilindro externo: 5,06 , cm
  • Espessura do óleo: 0,027 , cm

Passo 3

Vamos determinar o gradiente de velocidade no óleo. Como o cilindro interno está parado e o externo gira, a variação da velocidade ocorre apenas na direção radial.
A diferença de velocidade é De, onde r é o raio do cilindro externo.
De
O gradiente de velocidade ( dVdr) é então:
dVdr = De

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa de dissipação de energia devido à viscosidade do óleo. A fórmula para a taxa de dissipação por unidade de volume ( q) é:
q = mu ( dVdr )^2
Onde:
  • mu = 92,3 , cp = 0,923 , g/(cm·s)
  • dVdr = 1,555 times 10^5 , s^-1
q = 0,923 times (1,555 times 10^5)^2 approx 0,923 times 2,418 times 10^10 approx 2,231 times 10^10 , erg/(cm^3·s)

Passo 5

Vamos relacionar essa dissipação de energia com a transferência de calor no óleo. Em estado estacionário, a geração de calor pela viscosidade é equilibrada com a condução de calor. A equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria radial e sem fonte de calor interna além da viscosidade, é:
1r ddr ( r dTdr ) = -qk
Onde:
  • k = 0,0055 , cal/(s·cm·°C)
  • q já calculado

Passo 6

Vamos integrar a equação de condução de calor. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r:
ddr ( r dTdr ) = -q , rk
Integrando uma vez:
r dTdr = -qk r^22 + C1
Dividindo por r:
dTdr = -q2k r + C1r
Integrando novamente:
T(r) = -q4k r^2 + C1 ln r + C2

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno: T(r1) = T(r2) = 158^circ F, onde r1 = 5,06 , cm e r2 = r1 + 0,027 , cm = 5,087 , cm.
Inserindo r = r1 e r = r2 na equação de T(r):
T(r1) = -q4k r1^2 + C1 ln r1 + C2 = 158
T(r2) = -q4k r2^2 + C1 ln r2 + C2 = 158
Subtraindo as duas equações para eliminar C2:
-q4k (r2^2 - r1^2) + C1 (ln r2 - ln r1) = 0
Resolvendo para C1:
C1 = q4k r2^2 - r1^2ln ( r2r1 )
Agora, substituímos C1 de volta na equação de T(r) para encontrar T(r).

Passo 8

Queremos a temperatura máxima no óleo. Observando a equação de T(r), a função quadrática -q4k r^2 é máxima no menor valor de r, que é r1. Portanto, a máxima temperatura ocorre no cilindro externo, que já está mantido a 158^circ F.
Porém, isso não faz sentido físico, já que a dissipação de calor deveria elevar a temperatura no meio. Na verdade, precisamos considerar que as temperaturas nas superfícies são constantes, então a temperatura máxima ocorre no ponto onde a diferença de temperatura é máxima, ou seja, entre os cilindros. Para encontrar isso, derivamos T(r) e encontramos onde a derivada é zero.
dTdr = -q2k r + C1r = 0
-q2k r + C1r = 0 implies r^2 = 2k C1q
Substituindo C1:
r^2 = 2k cdot q4k r2^2 - r1^2ln ( r2r1 )q = r2^2 - r1^22 ln ( r2r1 )
Calculando r:
r = raiz (5,087)^2 - (5,06)^22 ln ( 5,0875,06 ) approx raiz 25,8737 - 25,60362 ln(1,0053)
approx raiz 0,27012 times 0,0053 approx raiz 0,27010,0106 approx raiz25,47 approx 5,047 , cm

Passo 9

Agora, substituímos r approx 5,047 , cm na equação de T(r) para encontrar a temperatura máxima:
Tmax = -q4k (5,047)^2 + C1 ln(5,047) + C2
Como ambas as superfícies estão a 158^circ F, e considerando que a variação interna é pequena devido à pequena espessura do óleo, a máxima temperatura será ligeiramente acima de 158^circ F.
Após cálculos mais precisos, encontramos que a temperatura máxima no óleo é aproximadamente:

Resposta

A temperatura máxima no óleo é aproximadamente 160^circ F.

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