Mostre que G(x)=x ln x-x é uma primitiva de g(x)=ln x.

Passo 1

Temos G(x)=xln x - x e g(x)=ln x. Queremos mostrar que G é uma primitiva de g, ou seja, que G'(x)=g(x). Para isso, vamos usar regras de derivação: regra do produto e derivada de funções básicas.

Passo 2

Para derivar xln x, aplicamos a regra do produto. Se u(x)=x e v(x)=ln x, então
ddxl(xln xr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x+1

Passo 3

Como G(x)=xln x - x, calculamos
G'(x)=ddxl(xln xr)-ddx(x)=(ln x+1)-1

Passo 4

Simplificando, temos
G'(x)=ln x,
que é exatamente g(x).

Resposta

Como G'(x)=ln x=g(x), concluímos que G(x)=xln x - x é uma primitiva de g(x)=ln x.

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