Represente graficamente e determine a região limitada pelas curvas y=4 x-x^2 e y=2 x^2-8 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representar graficamente e determinar a região limitada pelas curvas e . Isso está relacionado com o conteúdo de Funções Quadráticas e Interseção de Curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde as duas curvas se encontram e entender como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
4x - x^2 = 2x^2 - 8x

Passo 3

Agora, vamos reunir todos os termos em um lado da equação para resolvermos para 4x - x^2 - 2x^2 + 8x = 0 -3x^2 + 12x = 0 :

Passo 4

Fatorando a equação:
-3x^2 + 12x = 0 -3x(x - 4) = 0
Assim, temos duas soluções para x = 0 e x = 4 :

Passo 5

Agora que temos os valores de y = 4(0) - (0)^2 = 0 , vamos encontrar os correspondentes valores de y = 4(4) - (4)^2 = 16 - 16 = 0 substituindo na equação :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Vamos analisar qual das duas curvas está acima da outra entre y = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 e y = 2(2)^2 - 8(2) = 8 - 16 = -8 . Escolhemos um valor de no intervalo, por exemplo, :
Calculando para cada curva:
Para :
Para :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 7

Para representar graficamente, traçamos as duas curvas no mesmo sistema de coordenadas:
  • A curva é uma parábola que abre para baixo com vértice no ponto .
  • A curva é uma parábola que abre para cima com vértice no ponto .
Entre e , a primeira parábola está acima da segunda, formando uma região fechada entre elas.

Resposta

A região limitada pelas curvas e está compreendida entre os pontos e , sendo delimitada pela parábola acima e pela parábola abaixo nesse intervalo.

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