Um objeto é lançado de uma escada de altura de
com velocidade inicial de
fazendo um ângulo de
com a horizontal. Determine o alcance do objeto ao tocar o chão. Qual é sua altura máxima alcançada?
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Altura inicial da escada:
. - Velocidade inicial do objeto:
. - Ângulo de lançamento com a horizontal:
. - Aceleração da gravidade (adotada aqui):
.
- Altura inicial da escada:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o alcance horizontal do objeto ao tocar o chão (distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto onde
). - Determinar a altura máxima alcançada pelo objeto (altura máxima em relação ao solo).
- Determinar o alcance horizontal do objeto ao tocar o chão (distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto onde
Passo 2
Primeiro passo prático: decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental em lançamento oblíquo: a componente horizontal governa o deslocamento em
e a vertical governa o movimento em
.
- Fórmulas (explicando cada variável):
-
, onde é a componente horizontal da velocidade inicial. -
, onde é a componente vertical da velocidade inicial. -
é o ângulo com a horizontal (aqui ).
-
Vamos calcular usando valores trigonométricos aproximados:
-
. -
.
Cálculos:
Passo 3
Equação do movimento vertical e determinação do instante em que o objeto toca o chão.
Para o movimento vertical, com origem de alturas medida do chão, usamos:
Queremos o tempo
quando o objeto toca o chão, ou seja quando
. Assim:
Reorganizando (ou usando a fórmula padrão para raízes), obtemos a solução positiva para o tempo total de vôo:
Observação didática: essa expressão vem da fórmula quadrática; escolhemos o sinal “+” porque dá a raiz positiva (tempo maior que zero) correspondente ao instante em que o projétil retorna ao solo.
Passo 4
Calcular numericamente o tempo de queda usando os valores encontrados.
Primeiro calcule o termo dentro da raiz:
Agora o tempo total:
Passo 5
Determinar o alcance horizontal usando a componente horizontal constante.
A posição horizontal como função do tempo é
O alcance
ao tocar o chão é
Substituindo valores:
Passo 6
Determinar a altura máxima alcançada.
Atinge-se a altura máxima quando a velocidade vertical instantânea zera:
. O tempo até o pico é
A altura máxima pode ser obtida substituindo em
ou usando a fórmula energética/ cinemática:
Calculemos:
Passo 7
Pequena verificação e comentário final (motivação):
- As unidades conferem (metros e segundos).
- O ângulo pequeno (
) dá pequena componente vertical, por isso a altura máxima não é muito grande, mas a componente horizontal alta (devido a ) produziu um alcance grande. - Bom trabalho por ter aguentado a conta — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: decompor, usar as equações do movimento e resolver com cuidado. Força aí!
Resposta
Alcance
Altura máxima
Altura máxima