Um objeto é lançado de uma escada de altura de 2,25 \mathrm{~m} com velocidade inicial de 45 \mathrm{~m} / \mathrm{s} fazendo um ângulo de 10^{\circ} com a horizontal. Determine o alcance do objeto ao tocar o chão. Qual é sua altura máxima alcançada?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Altura inicial da escada: y_0 = 2{,}25\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade inicial do objeto: v_0 = 45\\ \mathrm{m/s}.
    • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta = 10^\circ.
    • Aceleração da gravidade (adotada aqui): g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar o alcance horizontal do objeto ao tocar o chão (distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto onde y=0).
    2. Determinar a altura máxima alcançada pelo objeto (altura máxima em relação ao solo).

Passo 2

Primeiro passo prático: decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental em lançamento oblíquo: a componente horizontal governa o deslocamento em x e a vertical governa o movimento em y.
  • Fórmulas (explicando cada variável):
    • \,v_{0x} = v_0\cos\theta, onde \,v_{0x} é a componente horizontal da velocidade inicial.
    • \,v_{0y} = v_0\sin\theta, onde \,v_{0y} é a componente vertical da velocidade inicial.
    • \theta é o ângulo com a horizontal (aqui 10^\circ).
Vamos calcular usando valores trigonométricos aproximados:
  • \sin 10^\circ \approx 0{,}17365.
  • \cos 10^\circ \approx 0{,}98481.
Cálculos:
v_{0x} = 45\cdot\cos 10^\circ \approx 45\cdot 0{,}98481 \approx 44{,}316\\ \mathrm{m/s}.
v_{0y} = 45\cdot\sin 10^\circ \approx 45\cdot 0{,}17365 \approx 7{,}814\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Equação do movimento vertical e determinação do instante em que o objeto toca o chão.
Para o movimento vertical, com origem de alturas medida do chão, usamos:
y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2.
Queremos o tempo t quando o objeto toca o chão, ou seja quando y(t)=0. Assim:
0 = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2.
Reorganizando (ou usando a fórmula padrão para raízes), obtemos a solução positiva para o tempo total de vôo:
t_{\text{tot}} = \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}{g}.
Observação didática: essa expressão vem da fórmula quadrática; escolhemos o sinal “+” porque dá a raiz positiva (tempo maior que zero) correspondente ao instante em que o projétil retorna ao solo.

Passo 4

Calcular numericamente o tempo de queda usando os valores encontrados.
Primeiro calcule o termo dentro da raiz:
v_{0y}^2 \approx (7{,}814)^2 \approx 61{,}06\quad\text{e}\quad 2 g y_0 = 2\cdot 9{,}8 \cdot 2{,}25 = 44{,}1.
v_{0y}^2 + 2 g y_0 \approx 61{,}06 + 44{,}1 = 105{,}16.
\sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0} \approx \sqrt{105{,}16} \approx 10{,}26.
Agora o tempo total:
t_{\text{tot}} \approx \frac{7{,}814 + 10{,}26}{9{,}8} \approx \frac{18{,}074}{9{,}8} \approx 1{,}84\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar o alcance horizontal usando a componente horizontal constante.
A posição horizontal como função do tempo é
x(t) = v_{0x}\,t.
O alcance R ao tocar o chão é
R = v_{0x}\,t_{\text{tot}}.
Substituindo valores:
R \approx 44{,}316\cdot 1{,}84 \approx 81{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar a altura máxima alcançada.
Atinge-se a altura máxima quando a velocidade vertical instantânea zera: v_y(t_{\text{pico}})=0. O tempo até o pico é
t_{\text{pico}} = \frac{v_{0y}}{g} \approx \frac{7{,}814}{9{,}8} \approx 0{,}797\\ \mathrm{s}.
A altura máxima pode ser obtida substituindo em y(t) ou usando a fórmula energética/ cinemática:
y_{\text{max}} = y_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g}.
Calculemos:
\frac{v_{0y}^2}{2g} \approx \frac{61{,}06}{19{,}6} \approx 3{,}12\\ \mathrm{m}.
y_{\text{max}} \approx 2{,}25 + 3{,}12 = 5{,}37\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Pequena verificação e comentário final (motivação):
  • As unidades conferem (metros e segundos).
  • O ângulo pequeno ( 10^\circ) dá pequena componente vertical, por isso a altura máxima não é muito grande, mas a componente horizontal alta (devido a v_0=45\\ \mathrm{m/s}) produziu um alcance grande.
  • Bom trabalho por ter aguentado a conta — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: decompor, usar as equações do movimento e resolver com cuidado. Força aí!

Resposta

Alcance R \approx 81{,}7\\ \mathrm{m}
Altura máxima y_{\text{max}} \approx 5{,}37\\ \mathrm{m}

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