Ao longo de um eixo x , a posição de uma partícula é dada por x=19 t^{2}-3 t^{3}, em que x está em metros e t em segundos. No instante t=2,0 s qual a posição, velocidade e a aceleração da partícula, respectivamente?
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como função do tempo:
x(t)=19\,t^{2}-3\,t^{3},
onde x está em metros e t em segundos. O instante pedido é t=2,0\\ \text{s}. As perguntas são, exatamente:
Qual a posição x da partícula em t=2,0\\ \text{s}?
Qual a velocidade v da partícula em t=2,0\\ \text{s}?
Qual a aceleração a da partícula em t=2,0\\ \text{s}?
Passo 2
O que significam velocidade e aceleração neste contexto (em linguagem simples):
A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de x(t) em relação a t. Usamos a notação
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto quer dizer: se x muda um pouco quando t muda, a velocidade diz quanto x muda por unidade de tempo naquele instante — é a inclinação da curva x vs t.
A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de v(t) em relação a t ou a segunda derivada de x(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Regra prática que vamos usar: para potências, a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1} (isso se chama regra do poder).
Passo 3
Calculando a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} usando a regra do poder termo a termo:
Derivada de 19\,t^{2} é 19\cdot 2\,t^{1}=38\,t.
Derivada de -3\,t^{3} é -3\cdot 3\,t^{2}=-9\,t^{2}.
Portanto,
v(t)=38\,t-9\,t^{2}.
Passo 4
Calculando a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt} (ou segunda derivada de x):
Derivada de 38\,t é 38.
Derivada de -9\,t^{2} é -9\cdot 2\,t=-18\,t.
Logo,
a(t)=38-18\,t.
Passo 5
Agora avaliamos x(t), v(t) e a(t) em t=2,0\\ \text{s}. Vamos fazer as contas passo a passo e sem pular etapas.
Para a posição:
x(2,0)=19\cdot(2,0)^{2}-3\cdot(2,0)^{3}.
Calcule os poderes:
(2,0)^{2}=4,\qquad (2,0)^{3}=8.
Substituindo:
x(2,0)=19\cdot 4 - 3\cdot 8 = 76 - 24 = 52.
Portanto a posição é 52 metros (unidade: m).
Para a velocidade:
v(2,0)=38\cdot(2,0)-9\cdot(2,0)^{2}.
Já sabemos (2,0)^{2}=4, então
v(2,0)=38\cdot 2 - 9\cdot 4 = 76 - 36 = 40.
Portanto a velocidade é 40 metros por segundo (unidade: m/s).
Para a aceleração:
a(2,0)=38-18\cdot(2,0)=38-36=2.
Portanto a aceleração é 2 metros por segundo ao quadrado (unidade: m/s^{2}).
Passo 6
Verificação rápida e palavra de incentivo: os valores têm sinais razoáveis (posição positiva, velocidade positiva e pequena aceleração positiva). Ótimo trabalho por chegar até aqui — essas derivações e substituições são exatamente o que costumam cair em prova; treine mais alguns casos parecidos e ficará mais natural!