Determine a aceleração da Lua em torno da Terra, usando os valores de distancia média e período orbital da Tabela de Dados Terrestres e Astronômicos abaixo. Suponha a órbita circular. Expresse a aceleração como uma fração de g.

Table 1: Terrestrial Data
\captionsetup{labelformat=empty}
Free-fall acceleration g
Standard value (at sea level at 45^{\circ} latitude)* 9.80665 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 32.1740 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}
At equator* 9.7804 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
At poles* 9.8322 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Mass of Earth M_{\mathrm{E}} 5.97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}
Radius of Earth R_{\mathrm{E}^{\prime}}, mean 6.37 \times 10^{6} \mathrm{~m} ; 3960 \mathrm{mi}
Escape speed \sqrt{2 R_{E} g} 1.12 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 6.95 \mathrm{mi} / \mathrm{s}
Solar constant { }^{\dagger} 1.37 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}
Standard temperature and pressure (STP):
Temperature 273.15 \mathrm{~K}\left(0.00^{\circ} \mathrm{C}\right)
Pressure 101.325 \mathrm{kPa}(1.00 \mathrm{~atm})
Molar mass of air 28.97 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
Density of air (STP), \rho_{\text {air }} 1.217 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
Speed of sound (STP) 331 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Heat of fusion of \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\left(0^{\circ} \mathrm{C}, 1 \mathrm{~atm}\right) 333.5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}
Heat of vaporization of \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\left(100^{\circ} \mathrm{C}, 1 \mathrm{~atm}\right) 2.257 \mathrm{MJ} / \mathrm{kg}
{ }^{\dagger} Average power incident normally on 1 \mathrm{~m}^{2} outside Earth’s atmosphere at the mean distance from Earth to the Sun.
Table 2: Astronomical Data*
\captionsetup{labelformat=empty}
Earth
Distance to moon, mean { }^{\dagger} 3.844 \times 10^{8} \mathrm{~m} ; 2.389 \times 10^{5} \mathrm{mi}
Distance to the Sun, mean { }^{\dagger} 1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} ; 9.30 \times 10^{7} \mathrm{mi} ; 1.00 \mathrm{AU}
Orbital speed, mean 2.98 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Moon
Mass 7.35 \times 10^{22} \mathrm{~kg}
Radius 1.737 \times 10^{6} \mathrm{~m}
Period 27.32 d
Acceleration of gravity at surface 1.62 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Sun
Mass 1.99 \times 10^{30} \mathrm{~kg}
Radius 6.96 \times 10^{8} \mathrm{~m}

    • Measured relative to Earth’s surface.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a aceleração da Lua em torno da Terra, supondo órbita circular, e expressar essa aceleração como uma fração de g. Os dados relevantes fornecidos na tabela (peguei estes dados da tabela enviada) são:
  • distância média Terra–Lua (raio da órbita) \;r=3,844\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • período orbital da Lua \;T=27{,}32\\ \mathrm{d}.
    Também usarei o valor padrão de g dado na tabela: \;g=9{,}80665\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta apontando para o centro vale
a=\frac{v^{2}}{r},
onde a é a aceleração, v é a velocidade linear e r é o raio da órbita.
  • A velocidade linear de um corpo que completa uma volta em período T numa circunferência de raio r é
v=\frac{2\pi r}{T}.
Aqui 2\pi r é o comprimento da órbita (uma volta) e T é o tempo para percorrê-la.
  • Substituindo v em a=\dfrac{v^{2}}{r} obtemos a forma prática
a=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
Nessa fórmula: a é a aceleração centrípeta (m/s ^2), r é o raio (m) e T é o período (s). Vamos usar essa expressão.

Passo 3

Converter o período de dias para segundos:
T=27{,}32\\ \mathrm{d}\times 86400\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{d}} = 27{,}32\times86400\\ \mathrm{s}.
Calcule:
T=2\,360\,448\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a aceleração usando \displaystyle a=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
Primeiro calcule 4\pi^{2}r:
4\pi^{2}\approx 39{,}4784176\quad\Rightarrow\quad 4\pi^{2}r \approx 39{,}4784176\times 3{,}844\times10^{8}.
4\pi^{2}r \approx 1{,}51755\times10^{10}.
Agora calcule T^{2}:
T^{2}=(2\,360\,448)^{2}\approx 5{,}57171476\times10^{12}.
Dividindo:
a=\frac{1{,}51755\times10^{10}}{5{,}57171476\times10^{12}}\approx 0{,}002724\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
(Explicação numérica: os passos anteriores mostram como obter numericamente o numerador e o denominador; a divisão dá o valor da aceleração centrípeta.)

Passo 5

Expressar a como fração de g. Dividimos por g=9{,}80665\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}:
\frac{a}{g}=\frac{0{,}002724}{9{,}80665}\approx 2{,}78\times10^{-4}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: isso significa que a aceleração que mantém a Lua em órbita é muito pequena comparada à gravidade à superfície da Terra — cerca de 0{,}028\% de g. Bom trabalho até aqui — essa conta é clássica e cai em prova com frequência; decorar a fórmula a=4\pi^{2}r/T^{2} ajuda muito.

Resposta

a\approx 0{,}002724\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 2{,}78\times10^{-4}\,g

Exercícios relacionados