Um objeto é lançado com velocidade inicial de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando um ângulo de 35^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. Desprezando a resistência do ar:
a) determine as componentes da velocidade inicial;
b) calcule o tempo total de voo;
c) determine o alcance horizontal;
d) determine a altura máxima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade inicial v_0 = 40\\ \mathrm{m/s},
    • ângulo de lançamento \theta = 35^\circ com a horizontal,
    • despreza-se resistência do ar (movimento sob aceleração gravitacional constante).
    • adotaremos g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} para a aceleração da gravidade.
  • O enunciado pede:
    (a) as componentes da velocidade inicial;
    (b) o tempo total de voo (tempo desde o lançamento até o retorno à mesma altura);
    (c) o alcance horizontal (distância horizontal percorrida até cair);
    (d) a altura máxima alcançada.

Passo 2

Entender e aplicar as fórmulas para as componentes iniciais da velocidade.
  • Conceito e fórmula: A velocidade inicial v_0 pode ser decomposta em duas componentes ortogonais: horizontal v_{0x} e vertical v_{0y}. Usamos trigonometria do triângulo formado por v_0 e o ângulo \theta:
    v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
    Aqui v_{0x} é a velocidade ao longo do eixo horizontal (não sofre variação se desprezarmos resistência do ar) e v_{0y} é a velocidade inicial na direção vertical (que será influenciada pela gravidade).
  • Cálculo numérico: precisamos dos valores de \sin35^\circ e \cos35^\circ. Valores aproximados (usados rotineiramente em provas):
    \sin35^\circ \approx 0,573576436,\qquad \cos35^\circ \approx 0,819152044.
    Então
    v_{0x} = 40\cdot 0,819152044 \approx 32,7660818\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 40\cdot 0,573576436 \approx 22,9430574\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o tempo total de voo usando a equação do movimento vertical.
  • Conceito e fórmula: a posição vertical y(t) (tomando y=0 na altura de lançamento) é
    y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2.
    O tempo de voo total corresponde ao instante t>0 em que y(t)=0 novamente (alcançou a mesma altura de partida). Colocando y(t)=0:
    0 = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2.
    Isso factoriza como
    t\left(v_{0y} - \frac{1}{2} g t\right)=0.
    As soluções são t=0 (lançamento) e
    t_{\text{total}} = \frac{2 v_{0y}}{g}.
    Explicação: o tempo de subida é v_{0y}/g (quando a velocidade vertical zera) e o tempo de descida é igual, por simetria, totalizando 2v_{0y}/g.
  • Substituindo o valor numérico de v_{0y}:
    t_{\text{total}} = \frac{2\cdot 22,9430574}{9,8} \approx \frac{45,8861148}{9,8} \approx 4,6820666\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o alcance horizontal (distância percorrida na direção x).
  • Conceito e fórmula direta: a componente horizontal da velocidade é constante ( v_{0x}), então o alcance R é
    R = v_{0x}\, t_{\text{total}}.
    Substituindo os valores:
    R \approx 32,7660818\cdot 4,6820666 \approx 153,4939\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula alternativa (útil em provas): usando identidades trigonométricas pode-se provar que, para lançamento e chegada na mesma altura,
    R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
    Verificação numérica rápida: \sin(2\theta)=\sin70^\circ\approx 0,93969262. Então
    R=\frac{1600\cdot 0,93969262}{9,8}\approx 153,4939\\ \mathrm{m},
    mesma resposta (bons para checar erros de conta).

Passo 5

Determinar a altura máxima alcançada.
  • Conceito e fórmulas: no ponto mais alto a velocidade vertical é zero. O tempo até o ponto mais alto é
    t_{\text{subida}} = \frac{v_{0y}}{g}.
    A altura máxima H pode ser obtida pela equação do movimento vertical ou pela fórmula da energia cinética vertical:
    H = v_{0y} t_{\text{subida}} - \frac{1}{2} g t_{\text{subida}}^2
    substituindo t_{\text{subida}}=v_{0y}/g obtém-se a forma mais utilizada
    H = \frac{v_{0y}^2}{2g}.
    Explicação: é a distância que a componente vertical percorre enquanto a gravidade reduz a velocidade vertical de v_{0y} a zero.
  • Cálculo numérico:
    H = \frac{(22,9430574)^2}{2\cdot 9,8} = \frac{526,383\ldots}{19,6} \approx 26,8476\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumindo os resultados numéricos com arredondamento razoável e interpretação rápida (dica para prova).
  • Valores calculados (arredondados a duas casas decimais quando apropriado): v_{0x} \approx 32,77\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{0y} \approx 22,94\\ \mathrm{m/s},
t_{\text{total}} \approx 4,68\\ \mathrm{s},
R \approx 153,49\\ \mathrm{m},
H \approx 26,85\\ \mathrm{m}.
Dica rápida: na prova memorize as fórmulas principais (componentes, t_{\text{total}}=2v_{0y}/g, R=v_0^2\sin(2\theta)/g, H=v_{0y}^2/(2g)). Se der tempo, confira com a fórmula alternativa do alcance para evitar erros de arredondamento.

Resposta

(a) v_{0x}\approx 32,77\\ \mathrm{m/s},\quad v_{0y}\approx 22,94\\ \mathrm{m/s}
(b) t_{\text{total}}\approx 4,68\\ \mathrm{s}
(c) R\approx 153,49\\ \mathrm{m}
(d) H\approx 26,85\\ \mathrm{m}

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