Um objeto é lançado com velocidade inicial de
formando um ângulo de
a horizontal. Desprezando a resistência do ar:
a) determine as componentes da velocidade inicial;
b) calcule o tempo total de voo;
c) determine o alcance horizontal;
d) determine a altura máxima.
a) determine as componentes da velocidade inicial;
b) calcule o tempo total de voo;
c) determine o alcance horizontal;
d) determine a altura máxima.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- velocidade inicial
, - ângulo de lançamento
com a horizontal, - despreza-se resistência do ar (movimento sob aceleração gravitacional constante).
- adotaremos
para a aceleração da gravidade.
- velocidade inicial
-
O enunciado pede:
(a) as componentes da velocidade inicial;
(b) o tempo total de voo (tempo desde o lançamento até o retorno à mesma altura);
(c) o alcance horizontal (distância horizontal percorrida até cair);
(d) a altura máxima alcançada.
Passo 2
Entender e aplicar as fórmulas para as componentes iniciais da velocidade.
-
Conceito e fórmula: A velocidade inicial
pode ser decomposta em duas componentes ortogonais: horizontal e vertical . Usamos trigonometria do triângulo formado por e o ângulo : Aquié a velocidade ao longo do eixo horizontal (não sofre variação se desprezarmos resistência do ar) e é a velocidade inicial na direção vertical (que será influenciada pela gravidade). -
Cálculo numérico: precisamos dos valores de
e . Valores aproximados (usados rotineiramente em provas): Então
Passo 3
Calcular o tempo total de voo usando a equação do movimento vertical.
-
Conceito e fórmula: a posição vertical
(tomando na altura de lançamento) é O tempo de voo total corresponde ao instanteem que novamente (alcançou a mesma altura de partida). Colocando : Isso factoriza comoAs soluções são(lançamento) e Explicação: o tempo de subida é(quando a velocidade vertical zera) e o tempo de descida é igual, por simetria, totalizando . -
Substituindo o valor numérico de
:
Passo 4
Calcular o alcance horizontal (distância percorrida na direção
).
-
Conceito e fórmula direta: a componente horizontal da velocidade é constante (
), então o alcance é Substituindo os valores: -
Fórmula alternativa (útil em provas): usando identidades trigonométricas pode-se provar que, para lançamento e chegada na mesma altura,Verificação numérica rápida:
. Então mesma resposta (bons para checar erros de conta).
Passo 5
Determinar a altura máxima alcançada.
-
Conceito e fórmulas: no ponto mais alto a velocidade vertical é zero. O tempo até o ponto mais alto éA altura máxima
pode ser obtida pela equação do movimento vertical ou pela fórmula da energia cinética vertical: substituindoobtém-se a forma mais utilizada Explicação: é a distância que a componente vertical percorre enquanto a gravidade reduz a velocidade vertical dea zero. -
Cálculo numérico:
Passo 6
Resumindo os resultados numéricos com arredondamento razoável e interpretação rápida (dica para prova).
- Valores calculados (arredondados a duas casas decimais quando apropriado):
Dica rápida: na prova memorize as fórmulas principais (componentes,
,
,
). Se der tempo, confira com a fórmula alternativa do alcance para evitar erros de arredondamento.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)