Uma sonda meteorológica é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de
. Determine:
a) a altura máxima atingida;
b) o tempo para atingir a altura máxima;
c) o tempo total de voo;
d) a velocidade após 4 s .
a) a altura máxima atingida;
b) o tempo para atingir a altura máxima;
c) o tempo total de voo;
d) a velocidade após 4 s .
Passo 1
O enunciado dá uma sonda lançada verticalmente para cima com velocidade inicial
e pede quatro coisas:
(a) a altura máxima atingida;
(b) o tempo para atingir a altura máxima;
(c) o tempo total de voo (até retornar ao ponto de lançamento);
(d) a velocidade após .
(a) a altura máxima atingida;
(b) o tempo para atingir a altura máxima;
(c) o tempo total de voo (até retornar ao ponto de lançamento);
(d) a velocidade após
Informações relevantes e convenções que vou adotar (tirei estas diretamente do enunciado):
- Velocidade inicial:
(para cima). - Tomarei a posição inicial
(ponto de lançamento). - A única aceleração é a gravidade, apontando para baixo:
com . - Convenção de sinais: direção para cima é positiva; portanto
e uma velocidade negativa significa movimento para baixo. - Pressuposto: desprezamos resistência do ar (movimento apenas sob aceleração constante).
Passo 2
As fórmulas de cinemática de movimento retilíneo com aceleração constante que vamos usar são estas (vou explicar o que cada símbolo significa):
- Equação da velocidade em função do tempo:
onde
é a velocidade no instante
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração constante.
- Equação da posição em função do tempo:
onde
é a posição no instante
e
é a posição inicial.
- Equação sem tempo (útil para achar altura máxima):
onde
é a velocidade em um instante qualquer e
a posição correspondente.
Motivação de uso:
- Para achar o tempo em que a sonda atinge a altura máxima, noto que no topo a velocidade é nula,
. Assim uso e resolvo para . - Para achar a altura máxima, posso usar a equação sem tempo com
, que dá diretamente. - Para o tempo total de voo, como o corpo parte de
e retorna a , posso ou usar simetria (válido aqui) ou resolver para achar a segunda raiz . - Para a velocidade em
uso a primeira equação .
Passo 3
Calcular o tempo para atingir a altura máxima (item b).
No topo a velocidade é
. Use
Substituo
,
e resolvo para
:
Agora coloco os números (
,
):
Faço a divisão passo a passo:
, sobra
; dividindo com maior precisão obtém-se
. Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Calcular a altura máxima atingida (item a).
Usarei a equação sem tempo:
No topo
, então
Como
, reorganizo:
Substituo os valores (
,
):
Faço a divisão:
(restam
), e com mais casas obtém-se
. Arredondando:
Observação didática rápida: essa fórmula também pode ser entendida facilmente pela ideia de energia (energia cinética inicial
é convertida em energia potencial
no topo, levando à mesma expressão
).
Passo 5
Calcular o tempo total de voo (item c).
Argumento por simetria: sem resistência do ar, o tempo de subida até o topo é igual ao tempo de descida de volta ao nível inicial. Assim
Substituindo os números:
Arredondando:
Alternativa (verificação): também poderia resolver
com a equação quadrática e achar as raízes
e
; a segunda raiz dá o mesmo resultado.
Passo 6
Calcular a velocidade após
(item d).
Use a equação da velocidade:
Substituo
,
e
:
Interpretação do sinal: o resultado é negativo,
, o que significa que após
a sonda já está descendo com velocidade de
apontando para baixo. Observação rápida: como
, em
ela já passou o topo e está em queda.