Uma sonda meteorológica é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a) a altura máxima atingida;
b) o tempo para atingir a altura máxima;
c) o tempo total de voo;
d) a velocidade após 4 s .

Passo 1

O enunciado dá uma sonda lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v_0=30\\ \mathrm{m/s} e pede quatro coisas:
(a) a altura máxima atingida;
(b) o tempo para atingir a altura máxima;
(c) o tempo total de voo (até retornar ao ponto de lançamento);
(d) a velocidade após 4\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes e convenções que vou adotar (tirei estas diretamente do enunciado):
  • Velocidade inicial: v_0=30\\ \mathrm{m/s} (para cima).
  • Tomarei a posição inicial y_0=0 (ponto de lançamento).
  • A única aceleração é a gravidade, apontando para baixo: a=-g com g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Convenção de sinais: direção para cima é positiva; portanto a=-9,8\\ \mathrm{m/s^2} e uma velocidade negativa significa movimento para baixo.
  • Pressuposto: desprezamos resistência do ar (movimento apenas sob aceleração constante).

Passo 2

As fórmulas de cinemática de movimento retilíneo com aceleração constante que vamos usar são estas (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Equação da velocidade em função do tempo:
v(t)=v_0+a\,t,
onde v(t) é a velocidade no instante t, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante.
  • Equação da posição em função do tempo:
y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}a t^2,
onde y(t) é a posição no instante t e y_0 é a posição inicial.
  • Equação sem tempo (útil para achar altura máxima):
v^2=v_0^2+2a(y-y_0),
onde v é a velocidade em um instante qualquer e y a posição correspondente.
Motivação de uso:
  • Para achar o tempo em que a sonda atinge a altura máxima, noto que no topo a velocidade é nula, v=0. Assim uso v(t)=v_0+a t e resolvo para t.
  • Para achar a altura máxima, posso usar a equação sem tempo com v=0, que dá y_{\max} diretamente.
  • Para o tempo total de voo, como o corpo parte de y_0=0 e retorna a y=0, posso ou usar simetria t_{\text{total}}=2t_{\text{subida}} (válido aqui) ou resolver y(t)=0 para achar a segunda raiz t>0.
  • Para a velocidade em t=4\\ \mathrm{s} uso a primeira equação v(t)=v_0+a t.

Passo 3

Calcular o tempo para atingir a altura máxima (item b).
No topo a velocidade é v=0. Use
v(t)=v_0+a t.
Substituo v=0, a=-g e resolvo para t:
0=v_0- g\,t_{\text{top}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{top}}=\frac{v_0}{g}.
Agora coloco os números ( v_0=30\\ \mathrm{m/s}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}):
t_{\text{top}}=\frac{30}{9,8}.
Faço a divisão passo a passo: 9,8\times3=29,4, sobra 0,6; dividindo com maior precisão obtém-se t_{\text{top}}\approx3,06122449\\ \mathrm{s}. Arredondando razoavelmente:
t_{\text{top}}\approx3,061\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a altura máxima atingida (item a).
Usarei a equação sem tempo:
v^2=v_0^2+2a(y-y_0).
No topo v=0, então
0=v_0^2+2(-g)(y_{\max}-y_0).
Como y_0=0, reorganizo:
y_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}.
Substituo os valores ( v_0=30\\ \mathrm{m/s}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}):
y_{\max}=\frac{30^2}{2\cdot9,8}=\frac{900}{19,6}.
Faço a divisão: 19,6\times45=882 (restam 18), e com mais casas obtém-se 900/19,6\approx45,91836735\\ \mathrm{m}. Arredondando:
y_{\max}\approx45,92\\ \mathrm{m}.
Observação didática rápida: essa fórmula também pode ser entendida facilmente pela ideia de energia (energia cinética inicial \tfrac{1}{2}mv_0^2 é convertida em energia potencial mg y_{\max} no topo, levando à mesma expressão y_{\max}=v_0^2/(2g)).

Passo 5

Calcular o tempo total de voo (item c).
Argumento por simetria: sem resistência do ar, o tempo de subida até o topo é igual ao tempo de descida de volta ao nível inicial. Assim
t_{\text{total}}=2\,t_{\text{top}}=2\cdot\frac{v_0}{g}=\frac{2v_0}{g}.
Substituindo os números:
t_{\text{total}}=\frac{2\cdot30}{9,8}=\frac{60}{9,8}\approx6,12244898\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
t_{\text{total}}\approx6,122\\ \mathrm{s}.
Alternativa (verificação): também poderia resolver y(t)=0 com a equação quadrática e achar as raízes t=0 e t=t_{\text{total}}; a segunda raiz dá o mesmo resultado.

Passo 6

Calcular a velocidade após 4\\ \mathrm{s} (item d).
Use a equação da velocidade:
v(t)=v_0+a t=v_0-g t.
Substituo v_0=30\\ \mathrm{m/s}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e t=4\\ \mathrm{s}:
v(4)=30-9,8\cdot4=30-39,2=-9,2\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação do sinal: o resultado é negativo, v(4)=-9,2\\ \mathrm{m/s}, o que significa que após 4\\ \mathrm{s} a sonda já está descendo com velocidade de 9,2\\ \mathrm{m/s} apontando para baixo. Observação rápida: como t_{\text{top}}\approx3,061\\ \mathrm{s}, em t=4\\ \mathrm{s} ela já passou o topo e está em queda.

Resposta

y_{\max}=45,92\\ \mathrm{m}
t_{\text{top}}=3,061\\ \mathrm{s}
t_{\text{total}}=6,122\\ \mathrm{s}
v(4)=-9,2\\ \mathrm{m/s}

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