Uma partícula é liberada de uma torre de 80 m de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando
, determine:
a) o tempo de queda;
b) a velocidade ao atingir o solo;
c) a altura da partícula após 2 s ;
d) a função horária da posição.
a) o tempo de queda;
b) a velocidade ao atingir o solo;
c) a altura da partícula após 2 s ;
d) a função horária da posição.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma partícula é liberada (ou seja, largada a partir do repouso) do topo de uma torre de altura
. - Despreza-se a resistência do ar.
- A aceleração da gravidade vale
.
O enunciado pede:
(a) o tempo de queda até atingir o solo;
(b) a velocidade ao atingir o solo;
(c) a altura da partícula após ;
(d) a função horária da posição.
(a) o tempo de queda até atingir o solo;
(b) a velocidade ao atingir o solo;
(c) a altura da partícula após
(d) a função horária da posição.
Passo 2
Escolha do sistema de referência e identificação das variáveis (muito importante para não se perder na prova):
- Vou tomar a posição vertical
positiva para cima. - O solo (onde a partícula atinge) corresponde a
. - A altura inicial (posição inicial) é
(peguei isso do enunciado). - A velocidade inicial é
porque a partícula foi liberada do repouso (peguei isso do enunciado: “liberada”). - A aceleração é vertical para baixo com módulo
, portanto em nosso sistema com cima positivo temos .
Passo 3
Equação horária do movimento vertical com aceleração constante (aula rápida):
Para movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) na vertical, a função horária da posição é
Para movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) na vertical, a função horária da posição é
Explicando cada símbolo:
-
é a posição em metros no instante (em segundos); -
é a posição inicial (em metros); -
é a velocidade inicial (em m/s); -
é a aceleração (em m/s ); -
é o tempo (em s).
Substituindo as quantidades que definimos:
Isto já responde a parte (d), mas vamos usá-la para as outras partes passo a passo.
Passo 4
(a) Determinar o tempo de queda: a partícula atinge o solo quando
. Então resolvemos
Isolando
:
Calculemos o quociente:
Tomando raiz quadrada:
(Descartei a solução negativa de
porque tempo não pode ser negativo neste contexto.)
Passo 5
(b) Velocidade ao atingir o solo: para MRUA a velocidade em função do tempo é
Substituindo
,
e o tempo de queda
:
Interpretação: o sinal negativo indica direção para baixo; a velocidade escalar (módulo) ao atingir o solo é
para baixo.
Passo 6
(c) Altura após
: use a função horária encontrada no Passo 3,
Portanto, após
a partícula ainda está a
do solo.
Passo 7
Resumo final e observações rápidas de prova:
- Função horária é
. Use sempre esta forma e lembre-se de verificar sinais escolhendo consistência no eixo. - Para achar o tempo de queda, ponha
e resolva a equação quadrática simples em . - Para velocidade, use
ou a relação de energia (se permitido), mas aqui a fórmula de MRUA é direta e rápida.
Resposta
(a)
(b) (ou
para baixo)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)