Uma partícula é liberada de uma torre de 80 m de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) o tempo de queda;
b) a velocidade ao atingir o solo;
c) a altura da partícula após 2 s ;
d) a função horária da posição.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma partícula é liberada (ou seja, largada a partir do repouso) do topo de uma torre de altura 80\\ \mathrm{m}.
  • Despreza-se a resistência do ar.
  • A aceleração da gravidade vale g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede:
(a) o tempo de queda até atingir o solo;
(b) a velocidade ao atingir o solo;
(c) a altura da partícula após 2\\ \mathrm{s};
(d) a função horária da posição.

Passo 2

Escolha do sistema de referência e identificação das variáveis (muito importante para não se perder na prova):
  • Vou tomar a posição vertical y positiva para cima.
  • O solo (onde a partícula atinge) corresponde a y=0.
  • A altura inicial (posição inicial) é \,y_{0}=80\\ \mathrm{m} (peguei isso do enunciado).
  • A velocidade inicial é \,v_{0}=0\\ \mathrm{m/s} porque a partícula foi liberada do repouso (peguei isso do enunciado: “liberada”).
  • A aceleração é vertical para baixo com módulo g, portanto em nosso sistema com cima positivo temos a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Equação horária do movimento vertical com aceleração constante (aula rápida):
Para movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) na vertical, a função horária da posição é
y(t)=y_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}.
Explicando cada símbolo:
  • \,y(t) é a posição em metros no instante t (em segundos);
  • \,y_{0} é a posição inicial (em metros);
  • \,v_{0} é a velocidade inicial (em m/s);
  • \,a é a aceleração (em m/s ^2);
  • \,t é o tempo (em s).
Substituindo as quantidades que definimos:
y(t)=80+0\cdot t+\tfrac{1}{2}(-9,8)t^{2}=80-4,9\,t^{2}.
Isto já responde a parte (d), mas vamos usá-la para as outras partes passo a passo.

Passo 4

(a) Determinar o tempo de queda: a partícula atinge o solo quando y(t)=0. Então resolvemos
0=80-4,9\,t^{2}.
Isolando t^{2}:
4,9\,t^{2}=80 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\dfrac{80}{4,9}.
Calculemos o quociente:
\dfrac{80}{4,9}=\dfrac{80}{4{,}9}\approx16{,}3265306\ldots
Tomando raiz quadrada:
t=\sqrt{\dfrac{80}{4,9}}=\sqrt{16{,}3265\ldots}\approx4{,}04\\ \mathrm{s}.
(Descartei a solução negativa de t porque tempo não pode ser negativo neste contexto.)

Passo 5

(b) Velocidade ao atingir o solo: para MRUA a velocidade em função do tempo é
v(t)=v_{0}+a\,t.
Substituindo v_{0}=0, a=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e o tempo de queda t\approx4{,}04\\ \mathrm{s}:
v_{\text{impacto}}=0+(-9{,}8)\cdot 4{,}04\approx -39{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica direção para baixo; a velocidade escalar (módulo) ao atingir o solo é 39{,}6\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 6

(c) Altura após 2\\ \mathrm{s}: use a função horária encontrada no Passo 3,
y(2)=80-4{,}9\cdot (2)^{2}=80-4{,}9\cdot 4=80-19{,}6=60{,}4\\ \mathrm{m}.
Portanto, após 2\\ \mathrm{s} a partícula ainda está a 60{,}4\\ \mathrm{m} do solo.

Passo 7

Resumo final e observações rápidas de prova:
  • Função horária é \,y(t)=80-4{,}9\,t^{2}. Use sempre esta forma e lembre-se de verificar sinais escolhendo consistência no eixo.
  • Para achar o tempo de queda, ponha y(t)=0 e resolva a equação quadrática simples em t.
  • Para velocidade, use v(t)=v_{0}+a\,t ou a relação de energia (se permitido), mas aqui a fórmula de MRUA é direta e rápida.

Resposta

(a) t\approx4{,}04\\ \mathrm{s}
(b) v_{\text{impacto}}\approx-39{,}6\\ \mathrm{m/s} (ou 39{,}6\\ \mathrm{m/s} para baixo)
(c) y(2)=60{,}4\\ \mathrm{m}
(d) y(t)=80-4{,}9\,t^{2}

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