Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0} do solo. Determine:
(a) Tempo de subida;
(b) Altura máxima;
(c) Velocidade ao retornar ao ponto de lançamento.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem abaixo foi extraído do enunciado):
  • Dado: um objeto é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial v_{0}.
  • Pressuposição usual (necessária para resolver): a aceleração da gravidade é constante e dirigida para baixo, denotada por g (valor típico \,g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,, mas a resposta será em função de g).
  • Perguntas:
    (a) determinar o tempo de subida (tempo até o objeto atingir a altura máxima);
    (b) determinar a altura máxima atingida relativa ao solo;
    (c) determinar a velocidade do objeto quando ele retorna ao ponto de lançamento (no instante em que passa novamente pelo solo).

Passo 2

Escolher convenções e as equações que vamos usar (isso é importante para não se confundir durante a prova).
  • Convenção de sinais: tomar para cima o sentido positivo. Então a velocidade inicial é \,v(0)=v_{0} (positiva) e a aceleração é \,a=-g (negativa porque aponta para baixo).
  • Condição inicial de posição: y(0)=0 (o solo).
  • Equações cinemáticas para aceleração constante (vou explicar o que cada símbolo significa):
    • \,v(t)=v_{0}+a\,t\,. Aqui \,v(t) é a velocidade no tempo \,t, v_{0} é a velocidade no instante t=0, a é a aceleração (constante) e t é o tempo.
    • \,y(t)=y(0)+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}\,. Aqui \,y(t) é a posição no tempo t.
    • Relação independente do tempo: \,v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,(y-y_{0})\,. Útil quando queremos ligar velocidades e deslocamentos sem resolver para t.
Vou usar essas fórmulas: elas vêm diretamente da integração da aceleração constante. Se quiser, pense nelas como ferramentas que funcionam sempre que a é constante.

Passo 3

(a) Tempo de subida.
  • Em geral, a altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea chega a zero: \,v(t_{\text{subida}})=0.
  • Usando \,v(t)=v_{0}+a t com a=-g, temos
0 = v_{0} - g\,t_{\text{subida}}.
  • Resolve-se para t_{\text{subida}}:
t_{\text{subida}}=\dfrac{v_{0}}{g}.
Explicação em palavras: o tempo necessário para “anular” a velocidade inicial v_{0} sob uma desaceleração constante g é simplesmente v_{0}/g. As unidades conferem: \mathrm{(m/s)}/\mathrm{(m/s^{2})}=\mathrm{s}.

Passo 4

(b) Altura máxima.
  • Usar a equação da posição \,y(t)=v_{0}t-\tfrac{1}{2}g t^{2} (pois y(0)=0 e a=-g).
  • Substituir t=t_{\text{subida}}=\dfrac{v_{0}}{g}:
h_{\max}=y\!\left(\dfrac{v_{0}}{g}\right) = v_{0}\!\left(\dfrac{v_{0}}{g}\right)-\tfrac{1}{2}g\!\left(\dfrac{v_{0}}{g}\right)^{2}.
  • Fazer as contas passo a passo:
h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}-\tfrac{1}{2}g\cdot\dfrac{v_{0}^{2}}{g^{2}} = \dfrac{v_{0}^{2}}{g}-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}}{g} = \dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}}{g}.
  • Resultado:
h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}.
Observação: dá para chegar ao mesmo resultado mais rápido usando \,0=v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta y com a=-g, que leva direto a \,0=v_{0}^{2}-2g h_{\max}\Rightarrow h_{\max}=v_{0}^{2}/(2g).

Passo 5

(c) Velocidade ao retornar ao ponto de lançamento.
  • Primeiro encontrarmos o tempo total de voo T (o instante T>0 tal que y(T)=0). Usamos \,y(t)=v_{0}t-\tfrac{1}{2}g t^{2} e impomos y(T)=0:
0 = v_{0}T-\tfrac{1}{2}g T^{2}.
  • Fatorando T:
T\bigg(v_{0}-\tfrac{1}{2}g T\bigg)=0.
  • A solução trivial T=0 é o lançamento; a outra (que queremos) é
v_{0}-\tfrac{1}{2}g T=0 \quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{2v_{0}}{g}.
  • Agora a velocidade no instante T: usar \,v(t)=v_{0}-g t. Substituindo t=T,
v(T)=v_{0}-g\left(\dfrac{2v_{0}}{g}\right)=v_{0}-2v_{0}=-v_{0}.
  • Interpretação: a velocidade no retorno tem módulo igual a v_{0} e direção oposta (ou seja, está apontando para baixo). Pela convenção que tomamos (para cima positivo), isso aparece como -v_{0}. Em termos de rapidez (valor absoluto da velocidade), é |v(T)|=v_{0}.

Passo 6

Checagem rápida e intuição física (útil para prova):
  • Simetria do movimento: a subida e a descida têm tempos iguais; tempo total T=2t_{\text{subida}}=2v_{0}/g. A velocidade ao passar pelo solo na descida tem magnitude igual à velocidade inicial por conservação de energia (sem atrito) ou por simetria do movimento com aceleração constante.
  • Tudo está em função de v_{0} e g, como esperado.

Resposta

(a) t_{\text{subida}}=\dfrac{v_{0}}{g}
(b) h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}
(c) v_{\text{no retorno}}=-\,v_{0} (rapidez ao retornar: v_{0})

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