Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial
do solo. Determine:
(a) Tempo de subida;
(b) Altura máxima;
(c) Velocidade ao retornar ao ponto de lançamento.
(a) Tempo de subida;
(b) Altura máxima;
(c) Velocidade ao retornar ao ponto de lançamento.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem abaixo foi extraído do enunciado):
- Dado: um objeto é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial
. - Pressuposição usual (necessária para resolver): a aceleração da gravidade é constante e dirigida para baixo, denotada por
(valor típico , mas a resposta será em função de ). - Perguntas:
(a) determinar o tempo de subida (tempo até o objeto atingir a altura máxima);
(b) determinar a altura máxima atingida relativa ao solo;
(c) determinar a velocidade do objeto quando ele retorna ao ponto de lançamento (no instante em que passa novamente pelo solo).
Passo 2
Escolher convenções e as equações que vamos usar (isso é importante para não se confundir durante a prova).
- Convenção de sinais: tomar para cima o sentido positivo. Então a velocidade inicial é
(positiva) e a aceleração é (negativa porque aponta para baixo). - Condição inicial de posição:
(o solo). - Equações cinemáticas para aceleração constante (vou explicar o que cada símbolo significa):
-
. Aqui é a velocidade no tempo , é a velocidade no instante , é a aceleração (constante) e é o tempo. -
. Aqui é a posição no tempo . - Relação independente do tempo:
. Útil quando queremos ligar velocidades e deslocamentos sem resolver para .
-
Vou usar essas fórmulas: elas vêm diretamente da integração da aceleração constante. Se quiser, pense nelas como ferramentas que funcionam sempre que
é constante.
Passo 3
(a) Tempo de subida.
- Em geral, a altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea chega a zero:
. - Usando
com , temos
- Resolve-se para
:
Explicação em palavras: o tempo necessário para “anular” a velocidade inicial
sob uma desaceleração constante
é simplesmente
. As unidades conferem:
.
Passo 4
(b) Altura máxima.
- Usar a equação da posição
(pois e ). - Substituir
:
- Fazer as contas passo a passo:
- Resultado:
Observação: dá para chegar ao mesmo resultado mais rápido usando
com
, que leva direto a
.
Passo 5
(c) Velocidade ao retornar ao ponto de lançamento.
- Primeiro encontrarmos o tempo total de voo
(o instante tal que ). Usamos e impomos :
- Fatorando
:
- A solução trivial
é o lançamento; a outra (que queremos) é
- Agora a velocidade no instante
: usar . Substituindo ,
- Interpretação: a velocidade no retorno tem módulo igual a
e direção oposta (ou seja, está apontando para baixo). Pela convenção que tomamos (para cima positivo), isso aparece como . Em termos de rapidez (valor absoluto da velocidade), é .
Passo 6
Checagem rápida e intuição física (útil para prova):
- Simetria do movimento: a subida e a descida têm tempos iguais; tempo total
. A velocidade ao passar pelo solo na descida tem magnitude igual à velocidade inicial por conservação de energia (sem atrito) ou por simetria do movimento com aceleração constante. - Tudo está em função de
e , como esperado.
Resposta
(a)
(b)
(c) (rapidez ao retornar:
)
(b)
(c)