I. Um objeto maciço de m=12.0 \mathrm{~kg} oscila emı movimento harmônico simples. Sua posiçầo em função do tempo varia de acordo \operatorname{com} x(t)=4 \cdot \operatorname{sen}[(\pi / 2) t+\pi / 6].
a) Qual é a posição, a velocidade e a aceleração do objeto em t=0 s?
b) Qual é a energia cinética do objeto em função do tempo?
c) Em que instante após t=0 a energia cinética atingirá um primeiro máximo?
II. Uma massa de 4,0 \mathrm{~kg}, presa a uma mola, é deslocada 8,0 \mathrm{~cm} de sua posição de equilibrio. Ela é solta e, entào, oscila com uma frequência de 5.0 Hz .
a) Qual é a energía do movimento quando a massa está passando pela posição de equilíbrio?
b) Qual é o módulo da velocidade da massa quando ela se encontra a 5,0 \mathrm{~cm} da posição de equilibrio?

Passo 1

O enunciado I trata de um movimento harmônico simples com massa m=12{,}0 kg e posição
x(t)=4\sin\bigl((\pi/2)\,t+\pi/6\bigr).
Para resolver precisamos lembrar que
  1. v(t)=\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A\omega\cos(\omega t+\varphi),
  2. a(t)=\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi).
    Em seguida calculamos energia cinética K(t)=\tfrac12m\,v^2(t) e achamos o tempo de máximo de K.

Passo 2

Identificamos os parâmetros do movimento I:
A amplitude A=4 m, a frequência angular
\omega=\pi/2\;\text{(rad/s)},
e a fase inicial \varphi=\pi/6.

Passo 3

Calculamos em t=0:
x(0)= 4\sin(\pi/6)=4\cdot\tfrac12=2 m.
v(0)= A\omega\cos(\varphi)=4\cdot(\pi/2)\cos(\pi/6)=2\pi\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\pi\sqrt3 m/s.
a(0)= -A\omega^2\sin(\varphi)=-4\cdot(\pi/2)^2\sin(\pi/6)=-\pi^2\cdot\tfrac12=-\tfrac{\pi^2}{2} m/ s^{2}.

Passo 4

A energia cinética do objeto em função do tempo é
K(t)=\tfrac12\,m\,v^2(t) =\tfrac12\cdot12\bigl(A\omega\cos(\omega t+\varphi)\bigr)^2 =24\pi^2\cos^2\bigl((\pi/2)t+\pi/6\bigr)\;\text{(J)}.

Passo 5

K(t) atinge máximo quando \cos^2(\omega t+\varphi)=1, ou seja
(\pi/2)\,t+\pi/6 = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
O menor tempo positivo vem de n=1: (\pi/2)t+\pi/6=\pi\implies (\pi/2)t=5\pi/6\implies t=5/3 s.

Passo 6

O enunciado II trata de uma massa m=4{,}0 kg presa a mola com amplitude A=8{,}0 cm =0{,}08 m e frequência f=5{,}0 Hz. Para resolver precisamos usar
  1. \omega=2\pi f,
  2. energia total em MHS E=\tfrac12m\omega^2A^2,
  3. relação velocidade–posição v(x)=\omega\sqrt{A^2-x^2}.

Passo 7

Calculamos \omega=2\pi\cdot5=10\pi rad/s.
A energia do movimento ao passar pela posição de equilíbrio é toda cinética e igual à energia total
E=\tfrac12\,m\,\omega^2\,A^2 =\tfrac12\cdot4\,(10\pi)^2\,(0{,}08)^2 =1{,}28\,\pi^2\approx12{,}6\;\text{J}.

Passo 8

O módulo da velocidade quando x=5{,}0 cm =0{,}05 m é
v(0{,}05)=\omega\sqrt{A^2-x^2} =10\pi\sqrt{0{,}08^2-0{,}05^2} =10\pi\sqrt{0{,}0039} \approx1{,}96\;\text{m/s}.

Resposta

I.(a) x(0)=2 m, v(0)=\pi\sqrt3 m/s, a(0)=-\tfrac{\pi^2}{2} m/ s^{2}
(b) K(t)=24\pi^2\cos^2\bigl((\pi/2)t+\pi/6\bigr) J
(c) primeiro máximo em t=5/3 s
II.(a) E=1{,}28\,\pi^2\approx12{,}6 J
(b) \lvert v\rvert\approx1{,}96 m/s

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