I. Uma onda em uma corda tem funçâo de onda dada por
y(x, t)=(0,15 m) \cdot \operatorname{sen}\left[\left(3,40 m^{-1}\right) x+\left(1,60 s^{-1}\right) t\right]
a) Qual é a amplitude da onda?
b) Qual é o período da onda?
c) Qual é o comprimento de onda da onda?
d) Qual é a velocidade dessa onda?
e) \mathrm{Em} que sentido ela se propaga?
II. Um arame de 50,0 \mathrm{~cm} de comprimento e 20,0 \mathrm{~g} de massa está sob uma tensão de 80.0 N . As duas extremidades do arame são mantidas fixas enquanto ele é beliscado.
a) Qual será a velocidade das ondas na corda?
c) Qual será a frequência do terceiro harmônico?

Passo 1

O enunciado dá uma onda transversal em uma corda descrita por
y(x,t) = \bigl(0,15\,\text{m}\bigr)\,\operatorname{sen}\bigl[(3,40\,\text{m}^{-1})\,x + (1,60\,\text{s}^{-1})\,t\bigr]
e pede: a) amplitude, b) período, c) comprimento de onda, d) velocidade de propagação e e) sentido de propagação. Na segunda parte, temos um arame de comprimento 50{,}0\,\text{cm}, massa 20{,}0\,\text{g} sob tensão 80{,}0\,\text{N}, e precisamos achar a velocidade das ondas (II a) e a frequência do 3.º harmônico (II c). Para isso usaremos as fórmulas
– Amplitude A é o coeficiente na frente do seno.
– Período T = \tfrac{2\pi}{\omega}.
– Comprimento de onda \lambda = \tfrac{2\pi}{k}.
– Velocidade de fase v = \tfrac{\omega}{k}.
– Sentido: o sinal de \omega t no argumento indica direção.
– Para o arame, \mu = m/L, v = \sqrt{T/\mu} e f_n = n\,v/(2L).

Passo 2

Amplitude A: é o fator multiplicativo da função seno.
A = 0,15\,\text{m}.

Passo 3

Período T: dado por
T = \frac{2\pi}{\omega} \quad\text{com}\quad \omega = 1,60\,\text{s}^{-1}.
Logo
T = \frac{2\pi}{1,60} \approx 3,93\,\text{s}.

Passo 4

Comprimento de onda \lambda: dado por
\lambda = \frac{2\pi}{k} \quad\text{com}\quad k = 3,40\,\text{m}^{-1}.
Logo
\lambda = \frac{2\pi}{3,40} \approx 1,85\,\text{m}.

Passo 5

Velocidade de fase v:
v = \frac{\omega}{k} = \frac{1,60}{3,40} \approx 0,47\,\text{m/s}.

Passo 6

Sentido de propagação: o argumento é kx + \omega t. Isso equivale a \operatorname{sen}\bigl[k(x - (-v)t)\bigr], ou seja, a onda se move no sentido negativo de x.

Passo 7

Para o arame (II a):
comprimento L = 0,500\,\text{m}, massa m = 0,020\,\text{kg}, tensão T = 80,0\,\text{N}.
Densidade linear
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0,020}{0,500} = 0,04\,\text{kg/m}.
Velocidade das ondas
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{80,0}{0,04}} = \sqrt{2000} \approx 44,7\,\text{m/s}.

Passo 8

Frequência do terceiro harmônico (II c): para corda fixa em ambas as extremidades
f_n = \frac{n\,v}{2L} \quad\text{com}\quad n=3.
Logo
f_3 = \frac{3 \times 44,7}{2 \times 0,500} = \frac{134,1}{1,0} \approx 134,1\,\text{Hz}.

Resposta

(a) A = 0,15\,\text{m}
(b) T \approx 3,93\,\text{s}
(c) \lambda \approx 1,85\,\text{m}
(d) v \approx 0,47\,\text{m/s}
(e) Propaga-se no sentido negativo de x.
II (a) v \approx 44,7\,\text{m/s}
II (c) f_3 \approx 134,1\,\text{Hz}

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