Um objeto de massa 15 kg se acha suspenso de uma mola, distendendo-a de 240 cm além de seu comprimento natural. Põe-se o peso em movimento deslocando-o de 30 cm no sentido para cima, e aplicando-lhe uma velocidade inicial de 60 cm / s para baixo. Determine o movimento subsequente do objeto, se a resistência do meio é desprezível.

Passo 1

O problema é de Oscilações Livres sem amortecimento: um bloco de massa 15 kg suspenso em uma mola estica a mola 2,40 m em repouso e, a partir do ponto de equilíbrio, deslocam-no 0,30 m para cima e dão velocidade inicial de 0,60 m/s para baixo. Vamos usar a teoria de Movimento Harmônico Simples (MHS) e equacionar a partir da posição de equilíbrio.

Passo 2

Em equilíbrio estático a força elástica equilibra o peso: k x0 = mg, onde x0=2,40 m. Assim obtemos o coeficiente elástico da mola:
k = mgx0 = 15cdot9,82,40 = 61,25 N/m

Passo 3

Para oscilações sem resistência a equação de movimento relativa ao equilíbrio é
m y'' + k y = 0 Longrightarrow y'' + kmy=0

Passo 4

Calculamos a frequência angular do MHS:
omega = raizkm = raiz61,2515 = raiz4,0833 approx 2,021:s^-1

Passo 5

A solução geral do MHS é
y(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t)

Passo 6

Em nosso referencial tomamos y=0 no ponto de equilíbrio, sentido positivo para baixo. Das condições iniciais:
y(0) = -0,30:m, y'(0)=+0,60:m/s

Passo 7

Aplicando t=0 em y(t) e y'(t) temos
A = y(0) = -0,30, y'(t)= -Aomegasin(omega t)+Bomegacos(omega t) implies B = y'(0)omega=0,602,021approx0,297

Passo 8

Portanto a expressão final do movimento é
y(t) = -0,30cos(2,021,t) + 0,297sin(2,021,t) (m)

Resposta

y(t) = -0,30,cosl(2,021,tr) + 0,297,sinl(2,021,tr)(m)

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