Um objeto de massa
é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo
com o plano, então a intensidade da força é
onde
é uma constante chamada coeficiente de atrito.
(a) Encontre a taxa de variação de
em relação a
.
(b) Quando essa taxa de variação é igual a 0 ?
#
(c) Se
, faça o gráfico de
como uma função de
e use-o para encontrar o valor de
para o qual
. Esse valor é consistente com a resposta dada na parte (b)?
(a) Encontre a taxa de variação de
(b) Quando essa taxa de variação é igual a 0 ?
#
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá a força
que puxa um objeto de massa
num plano horizontal, com coeficiente de atrito
. O objetivo é
– em (a) encontrar ,
– em (b) achar para quais essa derivada se anula,
– e em (c) para , , , traçar o gráfico de
e verificar numericamente o zero da derivada.
– em (a) encontrar
– em (b) achar para quais
– e em (c) para , ,
Passo 2
Para derivar usamos a regra do quociente. Defina
então
Como o numerador é constante,
Calculando
temos
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
. Como o denominador nunca é zero para
, anulamos o numerador:
(no primeiro quadrante).
Passo 4
Substituindo
,
No gráfico de
em
observa-se que
decresce de
até
e depois aumenta até
, apresentando mínimo em
, em total acordo com o critério de
.
Resposta
(a)
(b) quando
, ou seja,
(c) Com ,
,
,
,rad
, conforme o gráfico e o resultado de (b).
(b)
(c) Com