Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo theta com o plano, então a intensidade da força é
F=mu m gmu sen theta+cos theta
onde mu é uma constante chamada coeficiente de atrito.
(a) Encontre a taxa de variação de F em relação a theta.
(b) Quando essa taxa de variação é igual a 0 ?
#
(c) Se m=20 kg, g=9,8 m / s^2 e mu=0,6, faça o gráfico de F como uma função de theta e use-o para encontrar o valor de theta para o qual d F / d theta=0. Esse valor é consistente com a resposta dada na parte (b)?

Passo 1

O enunciado dá a força
que puxa um objeto de massa num plano horizontal, com coeficiente de atrito . O objetivo é
– em (a) encontrar ,
– em (b) achar para quais essa derivada se anula,
– e em (c) para , , , traçar o gráfico de e verificar numericamente o zero da derivada.

Passo 2

Para derivar usamos a regra do quociente. Defina
D(theta)=musintheta+costheta,
então
F(theta)=mu m gD(theta)
Como o numerador é constante,
dFdtheta =-mu m g,D'(theta)[D(theta)]^2
Calculando
D'(theta)=mucostheta-sintheta,
temos
dFdtheta =-mu m g,(mucostheta-sintheta)(musintheta+costheta)^2 =mu m g,(sintheta-mucostheta)(musintheta+costheta)^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos dfracdFdtheta=0. Como o denominador nunca é zero para thetain[0,pi/2], anulamos o numerador:
sintheta-mucostheta=0 Longrightarrow tantheta=mu Longrightarrow theta=arctanmu
(no primeiro quadrante).

Passo 4

Substituindo mu=0,6,
theta=arctan(0,6)approx0,540 radapprox31^circ
No gráfico de F(theta) em thetain[0,pi/2] observa-se que F decresce de theta=0 até thetaapprox31^circ e depois aumenta até pi/2, apresentando mínimo em thetaapprox31^circ, em total acordo com o critério de dF/dtheta=0.

Resposta

(a) dFdtheta=mu m g,(sintheta-mucostheta)(musintheta+costheta)^2
(b) dfracdFdtheta=0 quando tantheta=mu, ou seja, theta=arctanmu
(c) Com m=20,kg, g=9,8,m/s^2, mu=0,6, theta=arctan(0,6)approx0,540,rad approx31^circ, conforme o gráfico e o resultado de (b).

Exercícios relacionados