Determine o menor valor para a imagem das funções:
f(x)=(3)^x^2+4 x+4

Passo 1

O problema pede o menor valor da imagem da função f(x)=3^x^2+4x+4. Aqui estamos trabalhando com função exponencial (base maior que 1) e uma função quadrática no expoente, então vamos precisar encontrar o valor mínimo desse expoente.

Passo 2

Como a base da exponencial é maior que 1, a função f(x) cresce quando o expoente cresce e decresce quando o expoente decresce. Logo, o menor valor de f(x) ocorre exatamente onde o expoente g(x)=x^2+4x+4 atinge seu mínimo.

Passo 3

Para achar o mínimo de g(x), que é uma quadrática com coeficiente de x^2 positivo, vamos completar o quadrado:
g(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2
Dessa forma, vemos que o valor de g(x) é mínimo quando x=-2, e esse valor mínimo é g(-2)=0.

Passo 4

Substituindo na função original, temos f(-2)=3^g(-2)=3^0=1, que é o menor valor possível da imagem de f.

Resposta

1

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