1^a Questão: (4 pontos) Considere a região R subset R^2 no primeiro quadrante limitada pelas retas y=x e y=4 x e pelas hipérboles x y=1 e x y=4.
(i) (1.5 ponto). Considere a mudança de variáveis
x=uv, y=v
Esboce a região R e também a região S correspondente à região R pela mudança de variáveis definida acima.
(ii) (1 ponto). Calcule o Jacobiano da mudança de variáveis definida acima
(iii) (1.5 ponto). Calcule
integral duplaR y d A
utilizando a mudança de variáveis definida acima.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem uma região R no primeiro quadrante limitada por:
  1. as retas y=x e y=4x,
  2. as hipérboles xy=1 e xy=4.
    A mudança de variáveis é
x=uv, y=v
O assunto é: integrais duplas com mudança de variáveis e Jacobiano. Vamos precisar de:
  • Esboçar R (no plano xy) e a região S (no plano uv) após a troca.
  • Calcular o Jacobiano partial(x,y)partial(u,v).
  • Reescrever integral duplaR y,dA em u,v e avaliar.

Passo 2

Esboçando as regiões e encontrando S:
  1. No plano xy, R é um “quadrilátero curvo” no 1º quadrante:
    • Entre xy=1 (hipérbole mais interna) e xy=4.
    • Entre y=x (45°) e y=4x (reta mais inclinada).
  2. Em u,v, note que
    • xy=1 vira u=1 (pois xy=(u/v),v=u).
    • xy=4 vira u=4.
    • y=x é v = x = u/v v^2=u v=raiz u.
    • y=4x é v=4(u/v) v^2=4u v=2raiz u.
Logo S é o conjunto
1<= u<= 4, raiz u<= v<= 2raiz u
É um “bastão” curvo no plano uv.

Passo 3

Calculando o Jacobiano
x= u v, y=v Longrightarrow xu & xv yu & yv = 1v & -uv^2 0 & 1
O determinante é
J=detpartial(x,y)partial(u,v) =1vcdot1 - 0cdot(-uv^2) =1v
Como v>0, lvert Jrvert=1/v.

Passo 4

Transformando a integral
integral duplaR y,dA =integral duplaS l(y(u,v)r),l|Jr|,du,dv =integral duplaS vcdot1v,du,dv =integral duplaS 1,du,dv
Então basta achar a área de S:
integralu=1^4!!integralv=raiz u^2raiz u1,dv,du =integral1^4l[,vr]v=raiz u^2raiz u!du =integral1^4l(2raiz u - raiz ur),du =integral1^4raiz u,du
Calcule:
integral1^4u^1/2,du =[23u^3/2]1^4 =23l(4^3/2-1^3/2r) =23(8-1) =143

Resposta

boxed143

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