Questão: (4 pontos) Considere a região no primeiro quadrante limitada pelas retas e e pelas hipérboles e .
(i) (1.5 ponto). Considere a mudança de variáveis
Esboce a região e também a região correspondente à região pela mudança de variáveis definida acima.
(ii) (1 ponto). Calcule o Jacobiano da mudança de variáveis definida acima
(iii) (1.5 ponto). Calcule
utilizando a mudança de variáveis definida acima.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem uma região R no primeiro quadrante limitada por:
as retas e ,
as hipérboles e .
A mudança de variáveis é
O assunto é: integrais duplas com mudança de variáveis e Jacobiano. Vamos precisar de:
Esboçar R (no plano xy) e a região S (no plano uv) após a troca.
Calcular o Jacobiano .
Reescrever em e avaliar.
Passo 2
Esboçando as regiões e encontrando S:
No plano , R é um “quadrilátero curvo” no 1º quadrante: