Um objeto de massa M é colocado para oscilar, sem atrito, na direção horizontal. O movimento de seu centro de massa em função do tempo é descrito pela equação x(t) = 0,2 cos(2t + ), com as unidades no Sistema Internacional de Unidades (SI). Marque
(V) para as alternativas verdadeiras e
(F) para as falsas, justificando cada escolha.
(V) para as alternativas verdadeiras e
(F) para as falsas, justificando cada escolha.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um objeto de massa $ M $ que está oscilando horizontalmente sem atrito. A posição do centro de massa desse objeto em função do tempo é dada pela equação $ x(t) = 0,2 \cos(2t + \pi) $. O tema aqui é Movimento Harmônico Simples. Para resolver isso, vamos precisar entender os componentes da equação do movimento harmônico, como amplitude, frequência angular e período.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação $ x(t) = 0,2 \cos(2t + \pi) $. Nessa equação:
- Amplitude ($ A $): É o valor máximo que a posição pode atingir, que aqui é 0,2 metros.
- Frequência Angular ($ \omega $): Está na frente do tempo $ t $, que é 2 rad/s. A frequência angular nos diz quão rápido o objeto está oscilando.
- Fase Inicial ($ \phi $): É o termo $ \pi $, que indica o deslocamento inicial da posição no tempo $ t = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular o Período ($ T $) do movimento, que é o tempo que o objeto leva para completar uma oscilação completa. A relação entre a frequência angular e o período é dada por:
Substituindo $ \omega = 2 $ rad/s:
Então, o período é $ \pi $ segundos.
Passo 4
Agora, vamos determinar a Frequência ($ f $), que é o número de oscilações por segundo. A frequência é o inverso do período:
Então, a frequência é aproximadamente 0,318 Hz.
Passo 5
Como estamos sem atrito, a Energia Mecânica Total ($ E $) do sistema é conservada e é toda em forma de energia potencial e cinética. A energia máxima ocorre quando a velocidade é zero e a posição é máxima, e vice-versa.
Passo 6
Agora, vamos revisar quais afirmações são verdadeiras ou falsas com base nessas informações:
- Afirmação 1: A amplitude do movimento é 0,2 metros. (Verdadeiro)
- Afirmação 2: A frequência do movimento é $ \frac{1}{\pi} $ Hz. (Verdadeiro)
- Afirmação 3: O período do movimento é $ \pi $ segundos. (Verdadeiro)
- Afirmação 4: A energia mecânica não é conservada. (Falso, pois sem atrito a energia é conservada)
Resposta
- (V) A amplitude do movimento é 0,2 metros.
- (V) A frequência do movimento é $ \frac{1}{\pi} $ Hz.
- (V) O período do movimento é $ \pi $ segundos.
- (F) A energia mecânica não é conservada.