Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda faz um ângulo theta com o plano, então a intensidade da força é dada por
F=mu m gmu sen(theta)+cos (theta),
onde mu e g são constantes positivas (coeficiente de atrito e aceleração da gravidade).
(a) Determine a taxa de variação de F em relação a theta.
(b) Para que valores de theta a taxa é nula?

Passo 1

O enunciado pede para derivar em relação a θ a função
F(theta)=mu m gmu,sin(theta)+cos(theta)
e encontrar os valores de θ que tornam essa derivada nula. O conteúdo é cálculo de derivada de função composta e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(theta)=mu,sin(theta)+cos(theta)
para reescrever
F(theta)=mu m g,l(nu(theta)r)^-1
Isso facilita usar a regra da cadeia, pois F é constante vezes nu^-1.

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de nu:
nu'(theta)=mu,cos(theta)-sin(theta)
Então, usando que
ddthetal(nu^-1r)=-nu',nu^-2,
temos
dFdtheta=-mu m g,nu'(theta)l(nu(theta)r)^2 =-mu m g,mu,cos(theta)-sin(theta)(mu,sin(theta)+cos(theta))^2

Passo 4

Para achar onde dF/dtheta=0, basta zerar o numerador:
mu,cos(theta)-sin(theta)=0
que leva a
tan(theta)=mu

Passo 5

Assim, a taxa de variação é nula quando
theta=arctan(mu)
(no domínio usual 0).

Resposta

dFdtheta=-mu m g,mu,cos(theta)-sin(theta)(mu,sin(theta)+cos(theta))^2
A derivada se anula quando
tan(theta)=mu Rightarrow theta=arctan(mu)

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