Um objeto de massa
é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda faz um ângulo
com o plano, então a intensidade da força é dada por
onde
e
são constantes positivas (coeficiente de atrito e aceleração da gravidade).
(a) Determine a taxa de variação de
em relação a
.
(b) Para que valores de
a taxa é nula?
(a) Determine a taxa de variação de
(b) Para que valores de
Passo 1
O enunciado pede para derivar em relação a θ a função
e encontrar os valores de θ que tornam essa derivada nula. O conteúdo é cálculo de derivada de função composta e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Definimos
para reescrever
Isso facilita usar a regra da cadeia, pois F é constante vezes
.
Passo 3
Calculamos primeiro a derivada de
:
Então, usando que
temos
Passo 4
Para achar onde
, basta zerar o numerador:
que leva a
Passo 5
Assim, a taxa de variação é nula quando
(no domínio usual
).
Resposta
A derivada se anula quando