Seja o polinômio P(x)=x^4-3 x^2-5. Calcule P(-1)-17 P(3).
4) Determine m e n no polinômio P(x)=mx^3-2 x^2+nx-1, sabendo-se que 1 é a raiz do polinômio e que P(-2)=-21.

Passo 1

Resumindo o enunciado: no item (a) temos o polinômio P(x)=x^4-3x^2-5 e precisamos calcular P(-1)-tfrac17P(3). No item (b) trabalhamos com P(x)=m x^3-2x^2+n x-1, sabendo que 1 é raiz e P(-2)=-21, e vamos usar essas condições para encontrar m e n.

Passo 2

Vamos avaliar o item (a):
Substituindo x=-1 em P(x)=x^4-3x^2-5 temos
P(-1)=(-1)^4-3(-1)^2-5=1-3-5=-7.
Substituindo x=3 temos
P(3)=3^4-3cdot3^2-5=81-27-5=49.
Logo,
P(-1)-tfrac17P(3)=-7-tfrac1749=-7-7=-14

Passo 3

No item (b), como 1 é raiz, fazemos P(1)=0. Substituindo em P(x)=m x^3-2x^2+n x-1 obtemos
mcdot1^3-2cdot1^2+ncdot1-1=m-2+n-1=m+n-3=0,
logo
m+n=3

Passo 4

A segunda condição é P(-2)=-21. Substituindo x=-2:
P(-2)=m(-2)^3-2(-2)^2+n(-2)-1=-8m-8-2n-1=-8m-2n-9.
Como isso vale -21), temos
-8m-2n-9=-21
que simplifica para
4m+n=6
Resolvendo o sistema
{m+n=3,\quad4m+n=6} subtraindo a primeira da segunda achamos 3m=3 então m=1 e n=3-1=2.

Resposta

No item (a): -14. No item (b): m = 1 e n = 2.

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