Considere a formulação forte para o problema de condução de calor em uma placa circular:
em que
é o raio da placa, s é a fonte de calor por unidade de comprimento radial, T é a temperatura e k é a condutividade térmica.
Construa a formulação fraca para a formulação forte anterior.
Construa a formulação fraca para a formulação forte anterior.
Passo 1
A questão trata de condução de calor numa placa circular (coordenação radial). Temos a formulação forte:
em
, com condições de contorno
e
. O conteúdo é formular a versão fraca (variacional) dessa EDO.
Passo 2
Multiplicamos a equação forte por uma função de teste
e integramos de
até
:
onde usamos
.
Passo 3
Aplicamos integração por partes ao termo que envolve derivada:
Os termos de contorno são:
- Em
: pois . - Em
: já que a condição de Dirichlet impõe que as funções de teste se anulem em .
Logo, o termo de contorno some.
Passo 4
Reagrupando e incluindo o termo da fonte
:
Passando o sinal, obtemos:
Passo 5
Definimos o espaço de funções de ensaio e teste:
e o espaço de solução
A formulação fraca fica: encontrar
tal que para todo
Resposta
Encontrar
tal que para todo
com