Considere a formulação forte para o problema de condução de calor em uma placa circular:
k dd r(r d Td r)+r s=0 e m 0
em que R é o raio da placa, s é a fonte de calor por unidade de comprimento radial, T é a temperatura e k é a condutividade térmica.
Construa a formulação fraca para a formulação forte anterior.

Passo 1

A questão trata de condução de calor numa placa circular (coordenação radial). Temos a formulação forte: kddrl(rdTdrr)+rs=0 em 0, com condições de contorno T'(0)=0 e T(R)=0. O conteúdo é formular a versão fraca (variacional) dessa EDO.

Passo 2

Multiplicamos a equação forte por uma função de teste v(r) e integramos de r=0 até r=R:
integral0^Rl(kddr(rT')+rsr),v(r),dr = 0
onde usamos T'=dT/dr.

Passo 3

Aplicamos integração por partes ao termo que envolve derivada:
integral0^Rkddr(rT'),v,dr = kl[rT'vr]0^R - kintegral0^RrT'v',dr
Os termos de contorno são:
  • Em r=0: rT'v=0 pois T'(0)=0.
  • Em r=R: v(R)=0 já que a condição de Dirichlet impõe que as funções de teste se anulem em r=R.
    Logo, o termo de contorno some.

Passo 4

Reagrupando e incluindo o termo da fonte rs:
-kintegral0^RrT'v',dr + integral0^Rrs,v,dr = 0
Passando o sinal, obtemos:
kintegral0^RrT'v',dr = integral0^Rr s,v,dr

Passo 5

Definimos o espaço de funções de ensaio e teste:
V = vin H^1(0,R):v(R)=0,
e o espaço de solução
V0 = Tin H^1(0,R):T(R)=0
A formulação fraca fica: encontrar Tin V0 tal que para todo vin V
kintegral0^RrdTdrdvdr,dr = integral0^Rr s,v,dr

Resposta

Encontrar Tin uin H^1(0,R):u(R)=0 tal que para todo vin H^1(0,R) com v(R)=0
kintegral0^RrT'(r)v'(r),dr = integral0^Rr s(r),v(r),dr

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