Um objeto de massa
está preso a uma mola com constante elástica
. O objeto está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio da mola. Num dado instante, aplica-se sobre o objeto uma força externa
que varia com o tempo. Determine a posição do objeto em função do tempo nos seguintes casos:
a)
b)
c)
onde
para todo
.
a)
b)
c)
onde
Passo 1
O enunciado pede a posição de um oscilador harmônico forçado, sem amortecimento, obedecendo à equação
com condição inicial
Aqui o conteúdo é ODE de segunda ordem forçada e vamos usar a solução geral como soma de parte homogênea e parte particular.
Passo 2
Para o caso (a) usaremos o método de coeficientes indeterminados. A parte homogênea é
Como a força é
Impondo condições iniciais em
dá
e
.
Passo 3
Para o caso (b) aplicamos o princípio de Duhamel (convolução com o impulso do oscilador):
sendo para condições nulas de partida (
$$x_p(t)=\frac{1}{m,\omega_0}\int_0^t F(\tau),\sin\bigl(\omega_0(t-\tau)\bigr),d\tau
=\frac{F_0}{m,\omega_0}\int_0^t e^{-\gamma\tau}\cos(\omega\tau)\sin\bigl(\omega_0(t-\tau)\bigr),d\tau.$$
Passo 4
Para o caso © usamos novamente Duhamel, mas como
é periódica em degrau, expandimos em série de Fourier:
Para cada harmônico a parte particular é sinusoidal e somamos:
Como
, não há parte homogênea adicional além de um termo que cancela qualquer derivada inicial extra. O resultado final pode ser escrito
juntando particular e ajuste inicial como uma única série:
juntando particular e ajuste inicial como uma única série:
Resposta
a) Com
:
b) Em forma de convolução (condições nulas):
c) Com
e somando harmônicos ímpares: