Um objeto de massa m está preso a uma mola com constante elástica k. O objeto está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio da mola. Num dado instante, aplica-se sobre o objeto uma força externa F(t) que varia com o tempo. Determine a posição do objeto em função do tempo nos seguintes casos:
a) F(t)=F0 cos (omega t)
b) F(t)=F0 e^-gamma t cos (omega t)
c) F(t)= F0, & 0 <= t <= T / 2 -F0, & T / 2
onde F(t+T)=F(t) para todo t.

Passo 1

O enunciado pede a posição de um oscilador harmônico forçado, sem amortecimento, obedecendo à equação
m,x''(t) + k,x(t) = F(t)
com condição inicial
x(0)=0, x'(0)=0.
Aqui o conteúdo é ODE de segunda ordem forçada e vamos usar a solução geral como soma de parte homogênea e parte particular.

Passo 2

Para o caso (a) usaremos o método de coeficientes indeterminados. A parte homogênea é
xh(t)=Ccos(omega0 t)+Dsin(omega0 t), omega0=raiztfrackm
Como a força é F0cos(omega t), tentamos particular xp=Acos(omega t). Substituindo em m x''+k x=F0cos(omega t) achamos
A=F0k-momega^2
Impondo condições iniciais em x=xh+xp C=-A e D=0.

Passo 3

Para o caso (b) aplicamos o princípio de Duhamel (convolução com o impulso do oscilador):
x(t)=xh(t)+xp(t),
sendo para condições nulas de partida ( xh anula-se) a parte particular
$$x_p(t)=\frac{1}{m,\omega_0}\int_0^t F(\tau),\sin\bigl(\omega_0(t-\tau)\bigr),d\tau
=\frac{F_0}{m,\omega_0}\int_0^t e^{-\gamma\tau}\cos(\omega\tau)\sin\bigl(\omega_0(t-\tau)\bigr),d\tau.$$

Passo 4

Para o caso © usamos novamente Duhamel, mas como F(t) é periódica em degrau, expandimos em série de Fourier:
F(t)=4F0pisumn=1,3,5,dots^1nsin(nOmega t), Omega=2piT
Para cada harmônico a parte particular é sinusoidal e somamos:
xp(t)=sumn,ímpar4F0pi m1n(omega0^2-n^2Omega^2)sin(nOmega t)í
Como xp(0)=xp'(0)=0, não há parte homogênea adicional além de um termo que cancela qualquer derivada inicial extra. O resultado final pode ser escrito
juntando particular e ajuste inicial como uma única série:
x(t)=4F0pi msumn=1,3,5,dots^1n(omega0^2-n^2Omega^2)l[sin(nOmega t)-nOmegaomega0sin(omega0 t)r]

Resposta

a) Com omega0=raizk/m:
x(t)=F0k-momega^2l[cos(omega t)-cos(omega0 t)r]
b) Em forma de convolução (condições nulas):
x(t)=F0m,omega0integral0^t e^-gammataucos(omegatau)sinl(omega0(t-tau)r),dtau
c) Com Omega=2pi/T e somando harmônicos ímpares:
x(t)=4F0pi msumn=1,3,5,dots^1n(omega0^2-n^2Omega^2)l[sin(nOmega t)-nOmegaomega0sin(omega0 t)r]

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