Uma partícula partindo do ponto (1raiz3, 0) se move com vetor posição sigma(t)=(x(t), y(t)). Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante t é dado por V(t)=(-y(t), 3 x(t)).
a) Mostre que, em cada instante t, o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição.
b) Determine o vetor posição sigma(t).
c) Mostre que a curva descrita pela partícula é uma elipse.
d)Qual o tempo necessário para que a partícula dê uma volta na elipse ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula com vetor posição sigma(t)=(x(t),y(t)) que parte de (tfrac1raiz3,0) e velocidade V(t)=(-y(t),3x(t)). Vamos usar cálculo de vetores e equações diferenciais de 2ª ordem para achar aceleração, resolver para sigma(t), mostrar a forma da curva e achar o tempo de uma volta.

Passo 2

Para mostrar que a aceleração é paralela à posição, calculamos A(t)=V'(t)=(x''(t),y''(t)). Como x'(t)=-y(t) e y'(t)=3x(t), temos
x''(t)=-y'(t)=-3x(t),
y''(t)=3x'(t)=-3y(t)
Logo
A(t)=(x'',y'')=(-3x,-3y)=-3,(x,y)=-3,sigma(t),
mostrando que A(t) é paralelo a sigma(t).

Passo 3

Para achar sigma(t), note que de x'(t)=-y(t) obtemos
x''(t)+3x(t)=0
e de y'(t)=3x(t)
y''(t)+3y(t)=0
A solução geral de x''+3x=0 é
x(t)=Ccos(raiz3,t)+Dsin(raiz3,t)
Como y(t)=-x'(t), temos
y(t)=Craiz3,sin(raiz3,t)-Draiz3,cos(raiz3,t)
Aplicando as condições iniciais x(0)=1/raiz3, y(0)=0 e V(0)=(-y(0),3x(0))=(0,raiz3) C=1/raiz3 e D=0. Assim
x(t)=1raiz3cos(raiz3,t),
y(t)=sin(raiz3,t)

Passo 4

Para mostrar que a curva é uma elipse, eliminamos t. Note que
raiz3,x(t)=cos(raiz3,t), y(t)=sin(raiz3,t)
Como cos^2+sin^2=1, segue-se
(raiz3,x)^2+y^2=1Longrightarrow3x^2+y^2=1,
que é a equação de uma elipse.

Passo 5

A curva é parametrizada por funções trigonométricas de frequência raiz3. A função cos(raiz3,t) e sin(raiz3,t) repetem-se quando raiz3,t=2pi, isto é
t=2piraiz3

Resposta

a) A(t)=-3,sigma(t) (paralelo a sigma(t)). b) sigma(t)=l(tfrac1raiz3cos(raiz3 t),,sin(raiz3 t)r). c) A curva satisfaz 3x^2+y^2=1, uma elipse. d) O tempo de uma volta é T=tfrac2piraiz3.

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