Uma partícula partindo do ponto
se move com vetor posição
. Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante
é dado por
.
a) Mostre que, em cada instante
, o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição.
b) Determine o vetor posição
.
c) Mostre que a curva descrita pela partícula é uma elipse.
d)Qual o tempo necessário para que a partícula dê uma volta na elipse ?
a) Mostre que, em cada instante
b) Determine o vetor posição
c) Mostre que a curva descrita pela partícula é uma elipse.
d)Qual o tempo necessário para que a partícula dê uma volta na elipse ?
Passo 1
O enunciado nos dá uma partícula com vetor posição
que parte de
e velocidade
. Vamos usar cálculo de vetores e equações diferenciais de 2ª ordem para achar aceleração, resolver para
, mostrar a forma da curva e achar o tempo de uma volta.
Passo 2
Para mostrar que a aceleração é paralela à posição, calculamos
. Como
e
, temos
Logo
mostrando que
é paralelo a
.
Passo 3
Para achar
, note que de
obtemos
e de
A solução geral de
é
Como
, temos
Aplicando as condições iniciais
,
e
dá
e
. Assim
Passo 4
Para mostrar que a curva é uma elipse, eliminamos
. Note que
Como
, segue-se
que é a equação de uma elipse.
Passo 5
A curva é parametrizada por funções trigonométricas de frequência
. A função
e
repetem-se quando
, isto é
Resposta
a)
(paralelo a
). b)
. c) A curva satisfaz
, uma elipse. d) O tempo de uma volta é
.