$2 - (2,0 pontos) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando técnicas de equações lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica.
Passo 3
A equação característica é dada por
. Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
. Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 5
As raízes são
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é
, onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 8
Resolvendo para
:
Logo, .
Logo,
Passo 9
Então, a solução particular é
.
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.