$2 - (2,0 pontos) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial 2 - (2,0 pontos) Encontre a solução >=ral da seguinte equação diferencial

Passo 1

Então, temos a equação diferencial d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 8 y = 2 e^x. Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando técnicas de equações lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 8 y = 0. Para isso, encontramos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é dada por r^2 - 4r + 8 = 0. Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Calculando o discriminante: De. Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 5

As raízes são r = 4 pm raiz-162 = 2 pm 2i. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = e^2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)), onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 8 y = 2 e^x. Como o lado direito é 2 e^x, tentamos uma solução particular da forma yp(x) = A e^x.

Passo 7

Calculando as derivadas:
yp' = A e^x
yp'' = A e^x
Substituindo na equação:
A e^x - 4A e^x + 8A e^x = 2 e^x
(A - 4A + 8A) e^x = 2 e^x
5A e^x = 2 e^x

Passo 8

Resolvendo para A: 5A = 2
Logo, A = 25.

Passo 9

Então, a solução particular é yp(x) = 25 e^x.

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)) + 25 e^x.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)) + 25 e^x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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